“利用直线的斜率。”
“直线AB的斜率怎样表示？”
“有 ，还有 。”本文来自优.文'论,文·网原文请找腾讯752018766
“如何得到 ？”
“……”
“A、B两点在哪？满足什么方程？” 图4
“在椭圆上。满足 ， 。”
“知道怎样求 了吗？”
学生很快得到下列解法(经过整理)：
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)， ，则 ， ，
因为点A、B都在椭圆上，则 ， ，
两式相减得 ，
于是有 ，
化简得 ， 此即为所求的轨迹方程。
教师：“以上解法是很典型的。这里设点A、B的坐标，但并不需要求出，只是利用A、B的坐标进行过渡。这是解析几何中常用的一种求轨迹方法——设而不求。寻找动点之间的关系是求轨迹问题的关键。还有其它解法没有？”
一学生：“因为直线AB经过点F1，可以设直线AB的方程为y=k(x+c)，与椭圆方程联立解方程组得出A、B两点的坐标……”
另一学生：“不必解出A、B的坐标，将直线AB的方程为y=k(x+c)代入椭圆方程得到的一元二次方程的两根就是点A、B的横坐标x1，x2，正好可以利用韦达定理得到 ， ，将点A、B的横坐标都表示为直线AB的斜率k的函数，消去参数k就行了。”
教师：“很好。请同学们将解法写出来。”
以下是学生的另一种解法(经整理)：
解法二：假设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k(x+c)，代入椭圆方程 得
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，则 ，①
= ，② 由①②得 ，代入y=k(x+c)得 ，
整理得 ， 即为所求的方程。
学生：“我改变原椭圆的长轴或短轴的长，所求轨迹的形状也随着改变了，但这两个椭圆的形状仍然十分‘相似’，也不知有没有必然的联系？”
学生：“ 与 的比例正好等于 ，哇！我发现这两个椭圆的离心率是一样的！因此它们的形状相同。”
教师：“很好。看来大家已经掌握了求轨迹的关键——寻找被动点与主动点之间的关系。
刚才所探索的都是弦AB上特殊点的轨迹。同学们能否利用几何画板探索其它点的轨迹？请大家根据这个椭圆及弦AB，自行发现问题，提出问题和解决问题。”
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学生们立即投入到探索中。
一位学生：
轨迹3 “在弦AB上任意取一点Q，跟踪点Q，动画……哇！怎么点Q的轨迹是这样的？”
不少学生也发现了同样的问题。教师将这位学生计算机上的画面切换到大屏幕，几何画板演示：在弦AB上任取一点Q，跟踪点Q，拖动主动点A，取到如下几何图形(如图5～7所示)：
图5 图6 图7
“呀！这是什么图形？”
“怎么会有这样的图形？”
“自学习解析几何以来还从没见过这样的图形。”
“该给这个轨迹起个什么名字呢？”
学生们发出惊叹。本文来自优.文'论,文·网原文请找腾讯752018766
拖动点Q，发现点Q的轨迹也发生变化。当点Q接近中点P时，点Q的轨迹图形接近于中点P的轨迹——小椭圆(如图6)，而当点Q接近于点A或B时，轨迹图形就接近于大椭圆(如图7)。
轨迹4 “老师，我发现，如果将弦AB的两端A、B分别与椭圆长轴两个端点A1、A2连起来，则这两条直线A2A与A1B的交点C好象在椭圆的准线上。”另一个学生叫起来。
“老师，点Q的轨迹不是我们所熟悉的圆、椭圆、双曲线或抛物线，其轨迹方程一定很复杂。点C的轨迹这么简单，那么应该可以求出其方程吧。”
教师：“试试看吧。”
采取常规方法“交轨法”求解：
设直线AA2、BA1的方程分别为
y = k1(x－a)，y = k2(x+a)，
将AA2的方程代入椭圆方程整理得
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