以三次函数为核心，与不等式、数列、解析几何等知识结合综合考查学生分析问题、解决问题的能力。
例7 设f(x)=x3，等差数列｛an｝中a3=7,a1+a2+a3=12，记Sn= ,令bn= an Sn，数列｛ ｝的前项和为Tn。
（1） 求｛an｝的通项公式和Sn
（2） 求 的值本文来自优.文'论,文·网原文请找腾讯32491,14
解析 （1）设数列｛an｝的公差为d，由a3= a1+d=7, ,a1+a2+a3=3a1+3d=12解得a1=1,d=3
∴an=3n-2, ∵f(x)=x3 ∴Sn= =an+1
(2) bn= an Sn=(3n-2)(3n+1), ∴
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故
例8 设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴，y轴的正向分别平行移动t,s单位长度后得到曲线C1。
（1） 写出曲线C1的方程；
（2） 证明曲线C与C1关于点 对称;
（3） 如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明S= 且 .
解析 （1）曲线C1的方程为y=(x-t)3-(x-t)+s
（3） 证明：在曲线C上任意取一点B1(x1,y1)，设B2(x2,y2)是B1关于A的对称点，则有 ， 代入曲线C的方程得x2和y2满足的方程：S-y2=(t-x2)3-(t-x2)即y2=(t-x2)3-(t-x2)+S可知点B2(x2,y2)在曲线C1上。
（4） 证明：由曲线C与C1有且仅有一个公共点得
方程组 有且仅有一组解，
消去y整理得3tx2-3t2x+(t3-t-s)=0，
这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，
所以 且 即9t4-12t(t3-t-s)=0且 ∴S= 且
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