小波变换及在图像压缩中的应用 第6页

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令  ，D＝max{}.

定理3.2.2  存在一个有着最小的文数N的变换矩阵M使得

(1) ＝ (对于任意k, l)成立当且仅当 M=I

(2) DNmax-min .                     (3.2.2)

定理3.2.2使得滤波器的设计仅仅依赖于一个最小文数的矩阵。一旦所有滤波器的支集确定之后，矩阵的文数也可以由此估计出来。

定义3.3  如果{}和{}为小波变换的分解滤波器，那么由此产生的具有最小文数的循环矩阵叫做小波变换的最小矩阵(minimal matrix)。

一般来说3.2.2式不是最小矩阵的阶数，为了方便，3.2.2式被看作最小矩阵的阶数。

给定滤波器对{}和{}满足若图片无法显示请联系QQ752018766

假定由这对滤波器产生的矩阵M是可逆的，则有如下定理

定理3.2.3  假设{}和{}满足3.2.3和3.2.4，{}和{}的长度为偶数，且{}为对称的。令M为由{}和{}产生的N文循环矩阵，并假定M为可逆的。令为的列向量。那么有

=  (1 i N/2)                                               (3.2.5)

=0 (N/2+1 i N)                                               (3.2.6)

定理3.2.4  令M为一个由{}和{}产生的循环矩阵，假设M是可逆的，其逆=，那么也是一个由某个滤波器对产生的循环矩阵。

证明：令X=若图片无法显示请联系QQ752018766

容易证明方程(3.2.7)能推出(3.2.8)，反之亦然，即方程(3.2.7)和(3.2.8)是等价的。这说明Y是 的第二列，也就是说 是由某个序列对产生的循环矩阵。

把M和 分别写成如下形式：

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此处H和G， 和 均为N×2N的矩阵。

假设M和 均为最小矩阵，且和分别表示 和 的第一行，则有

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其中O表示元素全部为零的矩阵。

定理3.2.5 M=I成立当且仅当方程(3.2.3)(3.2.4)和(3.2.11)至(3.2.14)均成立。

由此可以得到以下设计滤波器的算法：

1．正交情形的算法。当M为一个正交矩阵时，=。假设M为最小矩阵。此时，方程(3.2.11)是一个仅与{}相关的二次方程；而方程(3.2.14)是一个仅与{}相关的二次方程。于是，方程(3.2.3) (3.2.11)和方程(3.2.4) (3.2.14)构成了构造正交小波滤波器的必要条件。

2．双正交情形的算法。双正交小波滤波器含有两队滤波器。如果G确定了，(3.2.5)和(3.2.13)为线性方程组，(3.2.6)和(3.2.14)亦为线性方程组。(3.2.5) 和(3.2.13)，(3.2.6)和(3.2.14)为构造双正交小波滤波器的必要条件。根据这些条件，人们可以根据自己的需要设计小波滤波器。

文[26]提到算法可能无法得到滤波器。例如，7-7 完全重构双正交滤波器不存在。文中并没有说明何时滤波器存在何时不存在，下一节将讨论一些前提条件，可以帮助在一定程度上确定滤波器存在与否。

注：N阶2循环矩阵是这样一个矩阵：若图片无法显示请联系QQ752018766

§3.3矩阵法构造滤波器的一些条件

定理3.3.1 若滤波器长度为偶数，则小波必为奇对称。若滤波器长度为奇数，则小波必为偶对称。

证明：反证法，设小波分解端滤波器长度为2n，=为偶对称

则=, n为奇数

或=, n为偶数

那么有=0，这与=矛盾，所以此时小波必为奇对称。

类似的可以知道，若{}为奇数长，则其必为偶对称。

定理3.3.2  若滤波器{}，{}均为奇数长，则它们的长度之差必为2的奇数倍数；若滤波器{}，{}均为偶数长,则它们的长度之差必为2的偶数倍数。

定义3.4  若{}满足则说{}有n阶消失矩。

    如果{}对应某个小波，则定义3.3与3.1是等价的 。

定理3.3.3: 滤波器为奇数长的双正交小波其消失矩必为偶数；滤波器为偶数长的双正交小波其消失矩必为奇数。

从文[26]的角度, 我们从具体的例子出发来说明：先设滤波器长度为11，消失矩为6，{}={f, e, d, c, b, a, b, c, d, e, f}，定义3.3关于消失矩的定义可以得到矩阵A：使得AX=0, 其中X=

经过初等行变化，我们看到一阶消失矩满足时，则二阶消失矩自动满足，三阶消失矩满足时，则四阶消失矩自动满足，而五阶消失矩满足时，优阶消失矩自动满足。就是说矩阵行之间满足一定的相关性。所以我们可以看出滤波器长度为奇数时，其消失矩应为偶数。

同样，在小波滤波器长度为偶数时，其为奇对称，所以一阶消失矩自动满足，可以看到当二阶消失矩满足时，三阶消失矩自动满足，而四阶消失矩满足时，五阶消失矩自动满足。所以滤波器长度为偶数时，其消失矩应为奇数。

定理3.3.4  分别具有p和q阶消失矩的双正交小波和的支集长度至少为p+q-1。

定理3.3.5  如果对于和，{}，{是非零的，那么和有分别等于和 的支集，且与的支集长度相同，都等于.

这说明，即{}，{}长度之和为，在 和 有p和q阶消失距的小波时，如果需要最小支集，{}，{}长度之和为2(p+q).

§3.4具体小波的构造

参照上面几点, 我们可以根据需要去设计小波, 如要设计分解端消失矩为6, 而重构端消失矩为4的小波, 则此时小波滤波器的长度应为奇数并且是偶对称的, {}，{}长度之和至少为2(4＋6-1)+2=20. 根据定理3.3.2, 9/9和11/11都是不可能的. 当然我们希望设计支集最小的小波, 根据定理3.3.3, 这时候10/10小波是不行的, 而9/11小波和11/9小波是可能的. 于是设1/{}={f, e, d, c, b, a, b, c, d, e, f}, 其支集为[-4, 6], 对偶{}={x, w, v, u, t, u, v, w, x}, 其支集为[-3,5]. { }具有6阶消失矩, 根据定义3.4的消失矩条件它应满足方程:

a+2b+2c+2d+2e+2f=0

-4f-3e-2d-c+a+2b+3c+4d+5e+6f=0

16f+9e+4d+c+a+4b+9c+16d+25e+36f=0

-64f-27e-8d-c+a+8b+27c+64d+125e+216f=0

256f+81e+16d+c+a+16b+81c+256d+625e+1296f=0

-1024f-243e-32d-c+a+32b+243c+1024d+3125e+7776f=0

考虑到, 且1/=1, 有

a-2b+2c-2d+2e-2f=1

求得他们的解是:

c = -6a/7 -8b/7+3/32, d = a/7-9b/14-27/128, e =5a/14+8b/7+5/32, f =-5b/14-a/7-5/128

根据定理3.2.2，滤波器对构成的极小矩阵(Minimal Matirx)的阶数是18。于是构造一个18阶的2-循环矩阵。基于3.2节的算法，可以获得一个方程组如下：

at+2bu+(-12a/7-16b/7+3/16)v+(2a/7-9b/7-27/64)w+(5a/7+16b/7+5/16)x=1

(-6a/7-8b/7+3/32)t+(a/7+5b/14-27/128)u+(19a/14+8b/7+5/32)v+(9b/14-a/7-5/128)w+(-6a/7-8b/7+3/32)x=0

(5a/14+8b/7+5/32)t+(-b-1/4)u+(-6a/7-8b/7+3/32)v+bw+ax=0

(-5b/14-a/7-5/128)u+(5a/14+8b/7+5/32)v+(a/7-9b/14-27/128)w+(-6a/7-8b/7+3/32)x=0

(-5b/14-a/7-5/128)w+(5a/14+8b/7+5/32)x=0

又因为{ }具有四阶消失矩，所以满足以下方程：

t+2u+2v+2w+2x=0

u+4v+9w+16x=0

以上方程组是一个非线性方程组，可以使用Matlab得到两组解如下：

所以我们可以得到两组9/11 (这里指对应的滤波器的长度)滤波器:

上面第二组9/11小波在图像压缩中的效果很好, 十分接近于9/7小波. 通过他们的图形可以看出, 第二组的数学性质更好, 其压缩效果也更好，图3.4.1给出了它的图形。这两组滤波器与文献[21]中的11/9滤波器是相同的, 但是我们在构造的过程中可以看出采用9/11小波使得分解端具有更高阶的消失矩, 这样对图像压缩的效果更好, 而采用四阶消失矩的小波用于分解端, 效果则不如前者, 后面的实验证明了这一点.

如果要设计分解端和重构端均为5阶消失矩的小波, 则滤波器长度之和至少为20, 又根据定理3此时滤波器长度应为偶数, 所以10/10为最小支集的小波. 和上面的设计一样, 可以得到两组10/10滤波器, 其中一组如下：

而另外一组为它的对偶.

另外还可以还设计分解端消失矩为8,重构端消失矩为4的9/15小波如下:

图3.4.1:  9/11小波图形若图片无法显示请联系QQ752018766

图3.4.2:  10/10小波图形

图3.4.3:  9/15小波图形

其中9/11、10/10、9/15小波的图形如图3.4.1、3.4.2、3.4.3所示。可以看出10/10小波的正则性比9/15小波好。9/15小波分解端虽然消失矩高, 但是其正则性差, 所以其压缩效果不是很理想。9/11小波和王国秋 的9/7小波很相似，但是性能更好。下面一节我们将对各种小波滤波器进行性能对比。

§3.5小波编码中滤波器选取仿真

本节主要讨论有关滤波器的选择。在前面我们讨论了有关小波基选择的理论，

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