图3欠采样的时域波形与频谱图
图4采样足够的时域波形与频谱图
从图2来看,信号在时域内衰减较快,在大约0.1s时就衰减为0,从频谱来看,原信号的频谱为一带限信号,在高频没有分量,从低频到零频率有分量。
对于一个频带在(0,fH)的连续信号,则该信号可以用等间隔的采样值来唯一的表示,而采样间隔必须不大于1/2fH,或者说,最低采样频率为2fH。
从物理概念上可对采样定理作如下解释,由于一个频带受限的信号波形不可能在很短的时间内产生独立的,实质的变化。它的最高变换速度受最高频率分量fH的限制,因此为了保留这一频率分量的全部信息,一个周期的间隔内至少要采样两次。
对采样来说,等于将信号与一系列冲激脉冲相乘,f1=100Hz时,如图3,原信号的频谱相应有移动。在f1的条件下,由于f1<2fH,从两个图像的比较可以看出时域波形中冲激串的包络已不能完整地表示原信号,有了失真。从频谱图看更是如此,不同的频带互相重叠,已经不能体现原频谱的特点了。在频谱中出现了直流分量,这样恢复时将出现冲激信号,因此我们就无法正确地恢复信号。
对情况f2=200Hz,如图4,由于f2>2 fH,此次的采样是成功的,它能够恢复原信号。从时域波形可看出,比上面采样所得的冲激脉冲串包含的细节要多,在频域中也没有出现频谱的交叠,这样我们可以利用低通滤波器来得到所要的频谱,从而恢复信号的频谱。
2.2.1.2带通采样定理
采样函数信号如下:s(t)=20sinc(20t)分别采用频率为1OHz和2OHz的冲激脉冲序列对其进行采样,通过分析可知采样后信号的频谱同原信号频谱的区别和联系。
此信号为一带通信号,其频谱宽度约为7Hz。
从中可以得知:以10Hz采样得到的信号频谱将出现交叠,无法从采样信号中恢复原信号,而以20Hz采样的采样信号却仍可以恢复原信号。值得注意的是,这里满足采样条件的采样频率20HZ并不是原信号中最高频率的两倍,它满足的是另一个采样定理——带通采样定理。
一个带通信号,其频带为(f2,fH),由于最低频率不是从0频率开始的,奈奎斯特频率不要求达到2 fH,此时要求的频率最低值为fs=2(fH-fL)(1+M/N),其中N为不超过fH/(fH-fL)的最大整数,M=[fh/(fh-f2)]-N,即B=fh-f2,则将上式化简后可以得到fs=2fH/N.
满足上式的采样频率可恢复原信号。
2.2.2最佳量化及量化误差
量化就是将一个有连续幅度值的信号映射成幅度离散的信号的过程。从这个定义可以看出,由于是将连续的值变为离散的值,量化是一定有误差的,在此过程中丢失的部分往往是无法重新恢复的。研究量化的误差并找到最小误差方案是一个主要问题,通常最佳量化特性可以是线性的也可以是非线性的。
量化方案可分为标量量化和矢量量化,标量量化中每个信源输出被分别量化,它又分为均匀量化和非均匀量化,均匀量化的量化区域是等长的,非均匀量化不是等长的,正因为此,非均匀量化性能要优于均匀量化。
2.2.2.1均匀量化
在均匀量化方式中,除第一个和最后一个区域,其它的所有区域都是等长的,每一级都有一个重建电平,即落在区域中的不同值都会被量化为同一值,通常每个量化间隔的重建电平也都取均匀分布的值。
当输入为正弦信号,其幅度为Am。现将其进行均匀量化,量化器的范围是(-V,V),共分为L级电平,这里Am<V,在本次中我们作的是64级电平和8级电平。从图上来看,量化后的值与原曲线值相差较小,阶梯形的量化曲线与原曲线比较吻合,较好的完成了量化任务。
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