泳池监控系统之子系统的研究与设计 第6页
泳池监控系统之子系统的研究与设计 第6页 其中，@，y)为p点的图像坐标；(x。，K，z。)为空间点尸在摄像机坐标系下
的坐标。我们用齐次坐标与矩阵表示上述透视投影关系：
z骨匿 1
(2．5)
将式(2．2)和式(2．3)代入上式，我们得到以世界坐标系表示的P点坐标与
投影点p的坐标@，y)的关系：，MlM2X。一删。
(2．6)
其中，口，=厂／出，口，=厂／方；M为3×4矩阵，称为投影矩阵；M1完全由口，、
口，、H。和‰决定，由于口，、口，、“。和‰只与摄像机内部结构有关系，我们称
这些参数为摄像机内部参数；尬完全由摄像机相对于世界坐标系的方位决定，
称为摄像机外部参数，确定某一摄像机的内外参数，称为摄像机定标【。¨。
由上式可见，若知道摄像机的内外参数，就已知道投影矩阵M，对于任意
空间点尸，如已知它的坐标石。=似。，yW，Z。，1)r，就可求出它的图像点p的位置
@，v)，这是因为在已知M和x。时，式(2．6)给出了三个方程，在这三个方程
中消去z。，就可求出@，v)。反过来，如果已知空间某点P的图像坐标点p的第2章基于计算机视觉的摄像机定标算法
位置@，V)，即使已知摄像机的内部参数，X。也是不能唯一确定的。事实上，
在式(2．6)中，M是为3x4不可逆矩阵，当已知M与@，'，)时，由式(2．6)给
出的三个方程中消去Z。，只可得到关于Xw，yw，Z，．，的两个线性方程，由这两个
线性方程组成的方程组即为射线OP的方程，也就是说，投影点为p的所有点
均在该射线上，其物理意义由图2．2看出，当已知图像点p时，由针孔模型，
任何位于射线OP上空间点的图像点都在p点，因此，该空间点是不可能唯一
确定的。
这里我们再提一下以后会用到的所谓规一化投影关系。式(2．5)可写成
z。[季】。[三 兰 草][§ 三 草 量]泳池监控系统之子系统的研究与设计 第6页 儿。乏
厶．
比较上式与式(2．4)可见，使用规一化坐标，相当于假设摄像机焦距等于
1，在一些文献的推导中，假设焦距为1，其推导过程中的图像坐标都是指规一
化坐标，在已知摄像机内参数时，可用式(2．9)将规一化坐标转换成实际的图
像坐标。
2．3非线性摄像机模型--
实验表明，当使用广角镜头时，在远离图像中心处会有较大的畸变，线性模
型不能很好描述该成像几何关系。此时，描述此类成像的非线性畸变可用下列公
~[22,23]．
—一、 ‘
三。x+6zO，y) (2．12)
y=y+6y(x，y)
其中，O，y)为小孔线性模型计算出来的图像点坐标的理想值；O，y)是实际的图
像点的坐标，瓯和6，是非线性畸变值，它与图像点在图像上的位置相关，可用以
下公式表达：
屯o，y)；klxG：+y?+(pl(掰，+y。?+2p2xy)+S1∥，+y。? (2．13)
6，@，y)=七2y(x。+y。)+(p2(缸。+y。)+2p~xy)-I-S20。+y。)
其中，瓯或6，的第一项称为径向畸变，第二项称为离心畸变(decentering)，第三
项称为薄棱镜畸变(thin prism)。式中的七，，七：，A，p：，s。，s2称为非线性畸变参数。
一般情况下，上述非线性模型的第一项径向畸变已经能足够描述非线性畸变，
’rsai曾指出，由于在考虑非线性畸变时对摄像机定标需要使用非线性优化算法，第2章基于计算机视觉的摄像机定标算法
引入过多的非线性参数(如上述模型的第二项和第三项)往往不仅不能提高精度，
反而引起解的不稳定【刚。但也有研究表明[23,24]，引入上式中的第二项与第三项在
使用广角镜头时能提高模型的精度。
如果只考虑径向畸变，式(2．12)和(2．13)可写成
三。x(1+klr。) (2．14)
．y=．y(1+七2，．。)
其中，r。=x。+_y。。该式表明，工方向和．y方向的畸变相对值(瓯／z，6，／)，)与
径向半径的平方成正比，即在图像边缘处的畸变较大。
线性模型的参数“0，’，0，口，，口，与非线性畸变参数七。，七：，p。，p2，s。，s2一起构成了
非线性模型的摄像机内部参数，Faig提出了对这些参数定标的非线性优化算法，
Tsai给出在假定只存在径向畸变的条件下的定标算法。这些方法都涉及非线性
方程的求解，或须假设摄像机部分内参数可由其他方法测出，或者用线性模型
先计算出线性模型的参数，作为近似初值，再用迭代的方法计算精确解。魏国
庆、马颂德提出了一种新的双平面摄像机成像模型[151，该方法把以上所介绍的
摄像机线性参数和非线性参数组合成一些中间参数，用线性计算方法定标这些
参数，可以简化计算过程，实验也表明，这种方法可较大地改善摄像机非线性
参数的定标精度。魏国庆的文章中还对各种非线性参数定标的算法精度进行了
试验比较【15】。
2．4单像灭点定标原理
在透视投影下，空间平行的直线在像平面上汇聚到一点，该点称为灭点，因
此，当被拍摄目标(如建筑物等)表面存在丰富的有规律性的直线信息时，就可
以利用灭点进行摄像机定标。
在基于灭点的摄像机定标方法中，灭点是定标的关键因素。待定标的参数皆
为灭点的函数。确定灭点有多种方法：Bamard在1983年首先提出了基于高斯球
的灭点表达方法[251；E．Lutton在此基础上通过Hough变换确定灭点【矧。这里介绍
的是采用建立直线与灭点的平插模型实现定标的方法12Sl。
假如一组平行线在图像平面上交于灭点n如图2．3所示，《『为其中一条直线。
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