量子遗传算法用于认知无线电频谱分配的应用研究 第5页
其中 是两个复数，是第i个量子比特的概率幅，其模满足归一化条件， 表示测量时发现 的概率， 表示发现 的概率。这种表示可表征任意的线性叠加态，例如有一个3量子比特系统
则系统的状态表示为
上面的表示状态|000>,|001>,|010>,|011>,|100>,|101>,|110>,|111>出现的概率分别是3/32,9/32,1/32,3/32,3/32,9/32,1/32,3/32,随着 趋于1或0，这时种群多样性消失，算法收敛。
2.3.3算法描述
QGA是一种和GA类似的概率算法，种群由量子染色体构成，在第t代的种群为 ，其中n为种群大小；k为量子染色体的长度； 定义为如下的染色体：
下面给出QGA的一般步骤：
（1） 初始化种群Q（t）；
（2） 由Q（t）量子坍塌生成P（t）；
（3） 对群体P（t）进行适应度评估，取其中最佳适应度个体作为该个体下一步演化的目标值；
（4） 停止条件判断：当满足时，输出当前最佳个体，算法结束，否则继续；
（5） 利用量子旋转门对种群Q（t）进行更新；
（6） 进行量子变异操作，t=t+1，转到（2）。
由此可见，QGA与GA的不同仅仅在于（3）、（5）和（6）步。在（5）中，由于量子旋转门是酉正矩阵，可以用做更新操作的量子门；在（6）中，量子变异的作用主要在于阻止未成熟收敛和提供算法局部搜索能力。QGA的算法流程图如图2-2所示。
在搜索过程中，QGA通过选择使具有较高适应度的个体不断增多，并且根据量子坍塌的机理，采用随机观察方法产生新的个体，不断探索未知空间，像GA 那样，使搜索过程得到最大的积累收益；其次，QGA 采用量子染色体的表示形式，使一个量子染色体上携带着多个状态的信息，能带来丰富的种群，进而保持群体的多样性，克服早熟；另外QGA 对量子染色体采用一种“智能”进化的策略来引导进化，提高收敛速度，因此在算法中主要对量子染色体采用变异操作[18]。
2.3.4 量子旋转门
QGA中的染色体处于叠加或纠缠状态，因而QGA的遗传操作不能采用传统GA的选择、交叉和变异等操作方式，而采用将量子门分别作用于各叠加态或纠缠态。
在QGA中，使用量子门变换，由于概率归一化的条件，变换的矩阵必须是幺正矩阵，常用的量子逻辑门有：非门、异或门、受控的异或门、Hadamard门和旋转门等。
旋转角为 的量子旋转门 可以表示为：
显然 是个酉正矩阵。量子旋转门的调整操作如2.17所示：
旋转角度 可由表1得到， 用来控制旋转角的方向， 用来控制旋转角的大小。
其中 和 是当前染色体和当前最优染色体的第i位； 为适应度函数。用图2-3说明旋转量子门的构造。例如当 ， 时，为使当前解收敛到一个具有更高适应度的染色体，应增大当前解取0的概率，即要使 的值变大，则若 在第1，3象限， 应向顺时针方向旋转；若 在第2，4象限， 应向逆时针方向旋转，如图2-3所示。
调整策略是：将第t代的一个个体 当前的测量值的适应度 与该个体当前的目标函数适应度值 进行比较，如果 ，则调整 中相应位量子比特，使得几率幅对 向着有利于 出现的方向演化；反之，则调整 中响应位量子比特，使得几率幅对 向着有利于 出现的方向演化。
2.3.5 量子变异操作
在遗传算法中，变异操作的作用相对于交叉操作而言并不是作用非常大，其意义主要在于阻止未成熟收敛和提供算法局部搜索能力。首先定义一种比较简单的单量子比特变异操作，这种方法如下：
首先对每一代的个体随机确定一个变异位，然后将该位量子比特的几率幅位置对调，即完成该量子比特的变异操作。
将量子比特的几率幅对的位置进行对调，实际上就是更改了该量子比特态叠加的状态，使得原来倾向于坍缩到状态 的变为倾向于坍缩到状态 ，或者相反。
下面给出另一种量子变异策略，由当前最优解中反推出一个量子染色体的概率分布，类似一种概率遗传算法，但是操作过程简单。用公式表示为其中 为到第t代为止的最优个体， 为指导量子染色体， 为 的
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