量子智能算法及在OFDM系统资源分配中的应用 第4页
量时发现 的概率， 表示发现 的概率。这种表示可表征任意的线性叠加态，例如有一个3量子比特系统
则系统的状态表示为
上面的表示状态|000>、|001>、|010>、|011>、|100>、|101>、|110>、|111>出现的概率分别是3/32、9/32、1/32、3/32、3/32、9/32、1/32、3/32。随着 趋于1或0，这时种群多样性消失，算法收敛。
采用量子比特编码使得一个染色体可以同时表达多个态的叠加，使得量子遗传算法比经典遗传算法拥有更好的多样性特性。
2.2.2 量子遗传算法描述
2.2.2.1 量子旋转门
QGA中的染色体处于叠加或纠缠状态，因而QGA的遗传操作不能采用传统GA的选择、交叉和变异等操作方式，而采用将量子门分别作用于各叠加态或纠缠态；子代个体的产生不是由父代群体决定，而是由父代的最优个体及其状态的概率幅度决定。量子遗传操作主要是将构造的量子门作用于量子叠加态或纠缠态的基态，使其相互干涉，相位发生改变，从而改变各基态的概率幅。因此，量子门的构造既是量子遗传操作要解决的主要问题，也是QGA算法的关键问题，它直接关系QGA的性能好坏。
在QGA中，使用量子门变换，由于概率归一化的条件，变换的矩阵必须是幺正矩阵，常用的量子逻辑门有：非门、异或门、受控的异或门、Hadamard门和旋转门等。由于量子旋转门的参数可调整性，其通用性更强，因此主要采用量子旋转门，并且在进行遗传操作的时候针对不同规模和特点的问题通过调整旋转门的操作有可能提高算法的收敛速度和改善算法的计算性能。
旋转角为 的量子旋转门 可以表示为： (2.6)
显然 是个幺正矩阵。量子旋转门的调整操作如(2.7)所示： (2.7)
旋转角度 可由下表得到。表中 用来控制旋转角的方向， 用来控制旋转角的大小。其中 和 是当前染色体和当前最优染色体的第i位， 为适应度函数，用下图说明旋转量子门的构造。例如当 ， 时，为使当前解收敛到一个具有更高适应度的染色体，应增大当前解取0的概率，即要使 的值变大，则若 在第1，3象限， 应向顺时针方向旋转；若 在第2，4象限， 应向逆时针方向旋转。
xi bi f(x)>f(b) – – –
表2.1 变异角
2.2.2.2 量子变异操作
变异【13】的作用主要在于阻止未成熟收敛和提高算法局部搜索能力。在QGA中，我们通过量子非门设计了一种量子变异操作。具体方法如下：
(1) 以确定的概率 从种群中选取若干个个体；
(2) 对选中的个体按确定的概率确定一个或多个变异位；
(3) 对选中位量子比特的几率幅执行量子非门操作，即完成该量子比特的变异操作。
量子变异操作实际上是更改了该量子比特态叠加的状态，使得原来倾向于坍缩到状态“1”的变为倾向于坍缩到状态“0”，或者相反。
2.2.2.3 量子遗传算法步骤
QGA是一种和GA类似的概率算法，种群由量子染色体构成，在第t代的种群为 ，其中n为种群大小；k为量子染色体的长度； 定义为如下的染色体：下面给出QGA的一般步骤：
(1) 初始化种群Q(t)；
(2) 由Q(t)量子坍塌生成P(t)；
(3) 对群体P(t)进行适应度评估，取其中最佳适应度个体作为该个体下一步演化的目标值；
(4) 停止条件判断：当满足时，输出当前最佳个体，算法结束，否则继续；
(5) 利用量子旋转门对种群Q(t)进行更新；
(6) 进行量子变异操作，t=t+1，转到(2)。
由此可见，QGA与GA的不同仅仅在于(2)、(5)和(6)步。在(1)中，初始种群中的全部染色体的所有基因 初始化为 ，表示所有可能的叠加态以相同的概率出现；在(2)中，通过量子坍塌生成 ，其中 为第t代种群中的第j个解，也就是第j个个体的测量值，表现形式为长度为k的二进制串，其中每一位为0或1是根据量子比特的概率选择确定的。具体过程是：随机产生一个属于[0，1]的数，若它大于 ， 取值1，否则取值0；在(5)中，由于量子旋转门是幺正矩阵，可以用做更新操作的量子门；在(6)中，量子变异的作用主要在于阻止未成熟收敛和提供算法局部搜索能力。具体方法为：首先以一定的概率 从种群中随机选取若干个个体，然后对选中的个体按确定的概率随机确定一个变异位，最后将该位量子比特的几率幅位置对调。将量子比特的几率幅的位置进行对调，实际上就是更改了该量子比特态叠加的状态，使得原来倾向于坍塌到状态 的变为倾向于坍塌到状态 ，或者相反。QGA的算法流程图如图2.2所示。
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