基于最小二乘法的数码相机定位方法
数码相机定位是高精度测量和瞄准跟踪系统中最基本的问题，我们针对题目中的这种系统标定方案。对靶标的像首先进行分析，说明其在不计图像噪声的情况下，是一个椭圆，但当有图像噪声时，其不再是一个理想的椭圆。但为了提高精确度，也为了处理的简便，我们通过多取一些图像边缘上的观察点，采用最小二乘法来拟合出椭圆的方程，然后利用二次曲线化简的理论，求出椭圆的中心。这一方法“在快速检测边缘的同时能有效地抑制图像的噪声”。
为了能通过分析两部照相机所得到的靶标的像确定出相机的位置，我们利用用空间向量夹角的正切等于向量矢量积的模与向量的数量积的商，得到了相机所在点的坐标的二次方程组。为了求解些此方程组，我们创造性地提出了自己的方案，利用结式理论，将二次方程组求解转化成为4次方程的求解。因为4次方程有求根公式，这样问题的求解有了一定的模式，可以编程求解，这在摄影测量方面有了实际的推广价值。
关键词 最小二乘法 数码相机定位 标定 椭圆中心 像素 向量 矢量积 数量积 结式
问题重述
所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。
标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点， 同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。
有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。用一位置固定的数码相机摄得其像，如图3所示。
要求：①建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的光学中心，x-y平面平行于像平面；
②对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即光学中心到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×768
③设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；
④建立用此靶标给出两部固定相机相对位置的数学模型和方法。
问题分析与求解
1、圆的像是一个近似椭圆
数码照相机的拍摄原理如图4所示，对于本文中的问题，物平面（图2靶标的示意图是一平面图）与像平面不一定恰好是平行的，存在一定的夹角，如图5所示。这样对于图2中的圆的像应该是一个椭圆，当然这是在不考虑噪声时的理想状态下的。对于一般地实际问题中，噪声是不能避免的，这样圆的像不一定再是一个椭圆了，而是一个近似的椭圆。
2、空间坐标系的建立
按问题①中的要求，坐标系的原点取在相机的光学中心，x-y平面平等于像平面，z轴取为焦距，坐标系成为右手系。这样，像平面与x-y平面平行，在像平面，即图3中z坐标是相同的。
由于数码相机中复杂的透镜组和光的反射等原因，成像过程很复杂。为了简化问题，便于分析，我们在像平面内，如图6所示，空间坐标在像平面中，就是：整个像片中的几何中心Q为原点，水平直线为x轴，垂直的直线为y轴。注意，由于凸透镜成像是倒的，因此图6中的像是图3中像的上下和左右反转。
3、用最小二乘法求出近似椭圆的方程
在相平面上，可以确定出圆A的像的边缘上的n个（n>5）点的坐标 ，为了精确地定出圆心位置，可根据最小二乘法原理（残差平方和最小原理）用理想的椭圆来逼近圆轮廓，设椭圆的方程为976