基于最小二乘法的数码相机定位方法 第2页
分别将n个点的坐标 代入(1)得 (2)
用最小二乘法来求出a、b、c、d、e，从而可以得到椭圆的方程。
4、椭圆中心的确定，问题①的求解
设 ，由解析几何中的有关知识[1，P193]，对于一般的椭圆(1)，其中心的坐标为方程组：
的解。
这样，要求的问题①得到求解。这与文[2]的结果是相同的。
5、对问题②③的求解
为了求解问题②，我们可以将数码相机中得到的照片（即图3）放到专业图像处理软件Photoshop中，从而可以获得圆A、B、C、D、E的像的边缘上n（n>5）个点相对于中心点Ｑ的像素数 和 ，从而得到点的坐标 。分别将它们代入(2)，然后再通过(3)可以分别求出A、B、C、D、E的像点在相平面上的坐标(x,y)。如图7所示。
我们确信这种方法是比较好的。因为文[3]设计出了一种仿真实验，并进行了实验，结果表明这种方法较其它方法更好，其精度能达到0.15mm. 由于时间紧迫，我们没有进行实验，这样对于精度和稳定性没有进行讨论。
6、问题④的求解
如图8所示，在空间坐标系下，A、B、C分别为（物）靶心， 分别为靶心在两个不同照相机中得到的像。设它们的坐标分别为 、
、 、 、 、 ，并记向量 、 .其中A、C的坐标，我们可以根据坐标系建立的方法，实际能确定其值（已知）， 是像平面内的点，其坐标我们可以通过量测得到其在像平面坐标系中的相对坐标值，从而可以求得 的正切值 （如图9所示，由于 为像距是1577个像素单位，通过像平面内的坐标值，可以求出线段 的长度，在 ，可以求得 ）。
这样，由于（4）左边 已求出，A、C的坐标也可得到，从而说明（4）是关于 的一个三元二次方程.简记为 。同理，利用照相机1和A、E两点，也可得到另一个三元二次方程 ，得到方程组 (5)
为了便于求解此方程组，文[3]首先利用高程数据库查取了 的值，再利用Taylor展开式近似地得到了一个线性方程组进行求解。其实，我们可以再增加一个观察点D，通过照相机1再用A、D类似于前面的方法还可得到一个三元二次方程。从而得到3个三元二次方程
为了求解此二次方程组，我们可以通过结式[4，P251]的方法来进行。由于这里 为二次的，因此，由 得到只含有变量x ,y 的4阶行列式 ，由 得到只含有变量x ,y 的4阶行列式 ，由于（6）一定有解存在，所以，又可得到方程组(7)
这是关于变量x,y的三次方程，再利用结式的性质[4，P253]，最后得到关于x的四次方程，最终求解这个四次方程，可以确定出x的值（可以利用四次方程的求根公式求解），回代（7）求出y的值，再回代到（6），求出z的值。最终求出了相机1的空间坐标 。
同理，类似于上面的方法，可以求出相机2的空间坐标 ，问题④得到解决。
总结与讨论
首先分析了问题的本质，并研究性地学习了CCD数码照相机的工作原理，通过对文[3，4]的认真研读，我们对于数码相机定位的工作原理有了彻底地认识，并能利用自己所熟悉的数学知识：空间解析几何中向量的矢量积、数量积，高次方程组求解的结式理论，高级图形软件photoshop等，将这一问题彻底解决。
数码相机定位是高精度测量和瞄准跟踪系统中最基本的问题，我们针对题目中的这种系统标定方案。对靶标的像首先进行分析，说明其在不计图像噪声的情况下，是一个椭圆，但当有图像噪声时，其不再是一个理想的椭圆。但为了提高精确度，也为了处理的简便，我们通过多取一些边缘上的观察点，采用最小二乘法来拟合出椭圆的方程，然后利用二次曲线化简的理论，求出椭圆的中心。这一方法“在快速检测边缘的同时能有效地抑制图像的噪声”[2]。
为了利用靶标，通过分析两部照相机所得到的像确定出相机的位置，我们利用用空间向量夹角的正切等于向量矢量积的模与向量的数量积的商的关系式，得到了相机所在点的坐标的二次方程组。为了求解些此方程组，我们独立地提出了自己的方案（这是本文的创新点，彻底消除了文[3]中的需要利用摄影装置的概率坐标查询高程数据库的烦恼），利用结式理论，将二次方程组求解转化成为四次方程的求解。因为四次方程有求根公式，这样问题的求解有了一定的模式，可以编程求解，这摄影测量方面有了实际的推广价值。
参考文献：
[1] 吕林根，许子道，解析几何,第四版，北京：高等教育出版社，2006。
[2] 敖磊，谭久彬等，一种快速高精度激光CCD自准直仪圆目标中心的定位方法. 光学学报，27(2):253-258,2007。
[3] 吕志伟，郝金明等，利用CCD数码相机进行高精度定位的方法,测绘学院学报， 22(4):242-245,2005。
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