数形结合思想在解题中的应用+文献综述+毕业论文 第3页

数形结合思想在解题中的应用+文献综述+毕业论文 第3页
数形结合思想在解题中的应用
Application of the Figure and Shape Combination in Solving Problems
数学与信息工程学院 数学与应用数学专业
郭顺宗
指导老师：冯国
1.引言
    数学以现实世界的数量关系和空间形式作为其研究的对象，而数和形是相互联系，也是可以相互转化的。把问题的数量关系与空间形式结合起来考察，或者把数量关系转化成图形的性质问题，或者把图形的性质转化成数量关系问题，可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思文为形象思文这种处理问题的思想与方法就是数形结合的思想方法。
早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形联系起来了。我国宋元时期，系统地引进了几何问优^文-论~文.网http://www.youerw.com 题代数化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。17世纪上半叶，法国数学家笛卡儿以坐标为桥梁，在点与数对之间、方程与曲线之间建立起来对应关系，用代数方法研究几何问题，从而创立了解析几何学。后来，几何学中许多长期不能解决的问题，例如三等分任意角、立方倍积、化圆为方等问题，最终也借助于代数方法得到了完满的解决。即使在近代和现代数学的研究中，几何问题的代数化也是一条重要的方法原则，有着广泛的应用。
沟通数与形的内在联系，不仅使几何学获得了代数化的有力工具，也使许多代数学和数学分析的课题具有了明显的直观性，在数学解题中，运用数形结合思想，就是根据问题的具体情形，或者把图形性质问题转化成数量关系来研究，后者把数量关系问题转化成图形性质来研究，以便以数助形或以形助数，使数学问题简单化、抽象问题具体化。
数学学习中，不单纯是数的计算与形的研究，更多的是用数形结合思想解题。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷.“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”应用数形结合解题时要注意以下两点：其一，注意数与形转化的等价性，将复杂的问题转化成简单、熟知的数学问题，转化前后的问题应是等价的；其二，注意利用“数”的精确性和“形”的全面性，像判断公共点个数问题，转化成图形后要保证“数”的精确性，才能得出正确结论。有些问题所对应的图形不唯一，要根据不同的情况画出相应的图形后，再进行讨论求解。
数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题生动化、直观化,能够变抽象思文为形象思文,有助于把握数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷,能避免复杂的计算。要注意培养这种思想意识,争取胸中有图,见数想图,以开拓自己思文的视野。数形结合的思想方法常见的如在解方程和解不等式问题中,在求函数的值域、最值问题中,在求复数和三角函数问题中。
以下就对数形结合思想在解题中的应用从“以形助数”和“以数辅形”这两方面试做一番探讨 。
2.以形助数,代数问题几何化
    几何直观能够启迪思路，帮助理解。因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中
的重要方向
2.1 以形助数解决集合问题

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