彩票方案的优选模型-数学建模论文 第3页
在计算概率时，同样可以建立摸球试验：一个口袋中装有n个球，其中有m个红球（基本号码），1个黄球（特别号码），n-m-1个白球（非中奖号），从口袋中一次摸出m个球，再从剩余n-m个球中摸出1个球（决定特别号码），因此样本空间总数为 。而各个奖项等级的可能状态数的计算根据组合原理得到，举两例说明：
a） 三等奖的概率计算（（6+1）/36）
三等奖的状态为‘●●●●●○ ★’，样本空间总数为 ，该状态的所有可能数理解为从6个红球中取5个、1个黄球中取1个、剩余的29个白球中取1个白球的取法，共有 种取法，因此其概率为： 。
b） 四等奖的概率计算（（6+1）/36）
四等奖的状态为‘●●●●●○’，为了简化问题，首先将该状态分解为两种：
‘●●●●●★ ○或●’和‘●●●●●○ ○或●’，其组合数分别为 和 ，并且这两种状态不重叠，所以状态数为 + ，因此概率为：
同理分析，通过归纳分析，可以计算各个等级下的概率：
一等奖： ； 二等奖： ；
三等奖： ； 四等奖： ；
五等奖： ； 优等奖： ；
七等奖： 原文请找腾讯752018766优,文-论'文.网
http://www.youerw.com由以上的分析，即可以计算得到29种不同方案的各个奖项的中奖概率及中奖概率和如附表。
对附表一结果进行分析，奖项等级越高，其获奖的概率就越小，即中大奖的几率最小。这是为人们接受，合情合理的。而每个方案的概率和就代表了中奖面。这个值越大就表明中奖面越宽；反之，中奖面就会越窄。各个不同等级奖项的设置和中奖面的大小直接影响着彩民的购买彩票的情况。另外，由于我们在假设里面已经约定了各个不同方案均是在公正公平的原则下实施，而且彩民购买和对奖的方便程度相同。因此，彩票对于彩民的吸引力就主要表现在中高奖的概率、高奖的金额以及中奖概率总和。据此，我们对于衡量各个不同方案的合理度建立模型。合理度作为目标函数，其他的有效因素都是变量。
2）模型建立
（1）模型一
彩票的发行方案（以下简称彩票方案）包括彩票类型（有传统型和乐透型，乐透型又分单项型和复合型），彩票总数码、中奖基本号码及特别号码的设置以及奖项、将金额的设置，这些设置又直接影响到彩票方案的中奖概率和，另外，彩票方案的奖项、金额设置以及中奖概率和又是吸引彩民购买彩票的关键因素。为了评价彩票发行方案的合理性，设定一目标函数值 ，称为合理度， 值越高说明彩票方案越合理。我们认为高项奖的奖金比例分配、低项奖的奖金金额和彩票方案的中奖概率和是影响彩票方案合理性的最直接因素，所以从根本上看，合理度 的计算和以下因素有关：（1）彩票方案中各个奖项 的设置及奖金 ( ， 为彩票方案中设置的最低级奖项，也就是奖项数， 为高项奖的奖项数，高项奖中为 比例值，低项奖中 为金额值)，（2）彩票中奖的概率总和 ，这和彩票方案所采用的中彩类型和奖项设置有关。我们用下面的式子形象的表示合理度 和各个因素的关系模型：
（1）
式子中各因素不是简单的相加关系，他们彼此间的量纲是不同的，为了将各种因素的量纲统一起来寻求计算合理度 的目标函数，现作如下考虑：
就每一种因素设定一个标准值 ，将该种因素值 和相应标准值 的比值 作为该种因素 对彩票方案合理度目标函数的影响力 ，即
（2）
由此，彩票方案合理度的目标函数即为各种因素影响力 加权平均和。
上述(I+1)种因素的标准值 ，相应的对合理度 的影响力 。
由于各类不同的彩民对上述各种不同因素的取舍不同，那么各种因素对合理度 的值的贡献也不同，设置各个因素对合理度 的贡献权重为： ，现在，我们就可以得到确切的评价彩票方案合理度 目标函数：
（3）
模型中权重值 通过层次分析法得到，各种因素的标准值 可利用题目所给的数据通过向量的标准化得到，本文的“模型的计算”中要分别加以计算。由于各种彩票方案的奖项、金额设置以及中奖概率和是已知的，所以利用模型一即可计算得到题中的所有方案的合理度 ，那么就可以知道提供的所有方案中那种方案最合理。
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