2 差错控制编码理论
这一章是对差错控制编码理论的阐述，主要分为三个小节，第一小节是差错控制编码的基本概念，包括信涤培码的主要思想，从中引出了信息码元、监督码元，还有影响检错和纠错能力的码距和编码效率。第二小节是信道模型和信道容量，在数字通信系统中信道是传输数字信息的主要通道，信道容量是信道的一个参数，它能反映信道中的最大信息量。第三小节介绍的是信涤培码定理，信涤培码定理是信涤培码非常重要的思想，因此在LDPC码的研究中必须先理解信涤培码定理。
2.1差错控制编码基本概念原文请加优.文^论,文'网QQ3249.114
在数字通信系统中如图2-1所示，编码器分为信源编码（解决通信的有效性问题）和信涤培码（解决通信的可靠性问题）。
图2-1 数字通信系统模型
信涤培码（又称差错控制编码或纠错编码），就是为改善数字信号在信道中传输的可靠性，而对其进行再编码的数据编码技术。
信涤培码是在经过信源编码的码元序列中增加一些多余的比特，可发现或纠正传输中发生的错误。
当信涤培码只有发现错码能力而不具备纠正错码能力时，需结合其他措施来纠正错码，否则只能将被发现为错码的码元删除，以避免错码引起的负面影响。上述手段统称为差错控制。
差错控制编码：是一种重要的信涤培码方式，是以可控制的方式，在信息码组的前后或在码元中间，按照一定的规则附加一些码元，这些码元被称为监督码元。
信涤培码的基本思想是在被传送的信号中附加一些监督码元，并在信息码元和监督码元之间建立某种校验关系。当这种校验关系因传输错误而被破坏时，利用已经建立的校验关系，就可以发现错误并予以纠正。
因此，可以说信涤培码的这种纠错和检错能力是用增加信号的冗余度换取的。
下面通过简单的例子说明差错控制编码编码的思想，用两位二进制数字构成的码组来表示：
00 （晴） 01 （云） 10 (阴) 11 （雨）
每个码组中的每位二进制数字，都称为该码组的一个码元。
若在传输过程中发生一个误码，则任何一种码组(码字)会错误地变成另外一种码组。这是由于每一种码组都可能出现，没有多余的信息量，因此接收端不可能发现错误，以为发送的就是另外一种码组。
由三位二进制数字构成的码组共有8个，选用其中四个表示上面天气
000（晴） 011（云） 101（阴） 110（雨）
则对于所发送的码组，如错了一位，在接收端就一定能发现。若000(晴)这一码组中错了一位码，则接收到的码组可能变为100或010或001。由于这3种码组都是禁用码组，故接收端在收到禁用码组时，就可以发现错误，即检出了错误。这些码不能发现两个错误或错码（即两个码元发生错误），因为若发生两个错误，则所产生的码组就是所选用的码组（称为许用码组）。
上述的编码方法只能检测错误，不能纠正错误。例如，当收到的禁用码组为100时，接收端无法判断是哪一位码发生了错误，因为000（晴）、101 (阴)、110 (雨)三种码组错了一位都可能变成100。000（晴）中前面两位是用来传送信息的，故称为信息码元，而后来增加的那位起监督作用，故称为监督码元。表1-1表示出了信息码元和监督码元的情况。
表1-1 信息码元与监督码元
天气情况 信息码元 监督码元
晴 00 0
云 01 1
阴 10 1原文请加优.文^论,文'网QQ324.9114
雨 11 0
编码的检错或纠错能力与码字间的最小距离有关。
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1.码距（汉明距离）：把两个等长码字之间对应码位上具有不同的二进制码元的个数，称为这两个码字的汉明距离，简称码距，用d表示。例如，两个码字11000与10011，它们在第2、4、5位上二进制码元不同，故d =3。
2.码重（汉明重量）：分组码中，一个码字中“1”的数目。用w表示，如码字11010，重量W =3；
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