定理6设{fn(x)}是 上的一个函数列， 存在，{fn(x)}在 上收敛于f（x），如果满足：
1）对任意 A>a，{fn(x)}在［a，A］上一致收敛于f(x)；
2）存在 上的非负连续函数F（x），使得 收敛，并且对所有足够大的x及所有的n，都有 ，那么积分 收敛，而且
例3 设 ，试证明
证明
利用定理4也能对含参变量广义积分的连续性、可微性进行证明。
定理7 设函数 在 上连续， 关于u在 上一致收敛，则函数 在 上连续。
证明 对任何确定的 ，任何点列 ， ，对任意 A>a，由f（x，u）在 上一致连续，可得出 在［a，A］上是一致收敛的，又积分 对 n 一致收敛，利用定理3得， ，即 ，从而有 ，这就证明了 在u0处连续。由于u0是 中任意一点，故函数 在区间 上连续。
例4 设函数f(x)在 有定义，且 收敛，则 在 上连续， 在 上连续。
证明 因为 收敛，又 关于x单调递减，且 ，利用阿贝尔判别法可得 在上一致收敛，再利用定理4，结论得证。
定理8设函数 在 上连续， I是一个区间，若对任意 ，积分 关于u在 上一致收敛，那么对 ， 成立。
证明 对任何 ，令 ，显然 在 上连续，当 时 在 上一致收敛于函数
由极限与积分号的可交换次序的性质，可得 ，又 ，故
定理9设函数 满足：
1）函数 在 上连续；
2）对任何 ，积分 关于u在区间 上一致收敛；对任意b>a，积分 关于x在［a，b］上一致收敛；
3）积分 ， 中至少有一个存在；
则有， ， 都存在且相等，即 =
证明 为了证明结论，不妨假设 存在，则有 存在，那就还需要证明 ，由于 关于u在 上一致收敛，所以 成立，记 ， ，显然 ，由条件可知 ， 且在任何区间[a,b]上一致收敛，最后由控制收敛定理得， 成立，结论得证。
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