3 函数列积分极限相关理论归纳总结
3.1 勒贝格测度
勒贝格测度是赋予欧几里得空间的子集一个长度、面积、或者体积的标准方法。它广泛应用于实分析，特别是用于定义勒贝格积分。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集A的体积或者说测度记作 。一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此，在假设选择公理成立时，Rn的所有子集也不都是勒贝格可测的。不可测集的“奇特”行为导致了巴拿赫-塔斯基悖论这样的命题，它是选择公理的一个结果。
Rn 上的勒贝格测度有如下的性质： 本文来自优\文:论^文?网，
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1）如果A是区间I1×I2×...×In的笛卡尔积，那么A是勒贝格可测的，并且 其中 表示区间I的长度。
2）如果A是有限个或可数个两两互不相交的勒贝格可测集的并，那么A 也是勒贝格可测的，并且 就是这些可测集的测度的和（或无穷级数的和）。
3）如果A勒贝格可测的，那么它的补集（相对于Rn）也是可测的。
4）对于每个勒贝格可测集A, 。
5）如果A与B是勒贝格可测的，且A是B的子集，那么 。
6）可数多个是勒贝格可测集的交或者并仍然是勒贝格可测的。 (由2，3 可得)。
7）如果A是一个开集或闭集，且是Rn(甚至Borel集，见度量空间，待补)的子集，那么A是勒贝格可测的。
8）如果A是一个勒贝格可测集，并有 (空集)，则A的任何一个子集也是空集。
9）如果A是勒贝格可测的，x是Rn中的一个元素，A关于x的平移（定义为 ）也是勒贝格可测的，并且测度等于A。
10）如果A是勒贝格可测的， ，则A关于 的扩张（定义为 ）也是勒贝格可测的，其测度为 。
11）更广泛地说，设T是一个线性变换，A是一个Rn的勒贝格可测子集，则T(A)也是勒贝格可测的，其测度为 。
12）如果A是Rn的勒贝格可测子集，f是一个A到Rn上的连续单射函数，则f(A)也是勒贝格可测的。
例：如果A是一个区间[a,b]，那么其勒贝格测度是区间长度b−a。开区间(a,b)的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集。 如果A是区间[a,b]和 [c,d]的笛卡尔积，则它是一个长方形，测度为它的面积(b−a)(d−c)。
3.2 勒贝格控制收敛定理
勒贝格控制收敛定理是积分论中的一个重要定理，它能处理积分与极限的交换问题，它是实变函数论方法中的一种力量。利用这一定理可以证明列文（Levi）定理、法都（Fatou）定理等其他定理，它在证明和计算中有着非常普遍和多样化的应用。首先，我们介绍一下勒贝格控制收敛定理。
勒贝格控制收敛定理：设
1）{fm}是可测集E上的可测函数列；
2） 于E， ，且F（x）在E上可积分（称{fn}为F（x）所控制，而F（x）叫控制函数）；
3） ，
则f(x)在E上可积分，且
勒贝格控制收敛定理提供了积分运算和极限运算可以交换运算顺序的一个充分条件。在分析逐点收敛的函数数列的勒贝格积分时，积分号和逐点收敛的极限号并不总是可以交换的。控制收敛定理说明了，如果逐点收敛的函数列的每一项都能被同一个勒贝格可积的函数“控制”（即对变量的任何取值，函数的绝对值都小于另一个函数），那么函数列的极限函数的勒贝格积分等于函数列中每个函数的勒贝格积分的极限。
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