最后，本文利用模态截断法对原方程进行简单的数学处理。这种方法将动力学方程 从物理空间转换到模态空间，大大的降低了动力学方程的运算量。 

1。4 本文的研究方法、步骤和措施 文献综述

首先，讨论细直梁的弯曲振动。将未变形时梁的中轴线，即各截面的形心连成的直 线取作 x 轴。设梁具有过 x 轴的对称平面，将对称面内与 x 轴垂直向下的方向取作 z 轴。 梁在空间内作弯曲振动时，梁的中心沿 z 轴的横向位移 （x,t），称为该方向上梁的挠 度。设截面相对于过形心的横轴上下对称，此对称轴称为截面的中性轴。

动力学方程需要依据 Hamilton 最小作用量原理建立，能够包含所有必要的运动自由 度及其耦合效应。所建立的方程为关于广义自由度（即节点自由度）的二阶动力学偏微 分方程。经过约束处理后，取出全局质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵进行模态分析。由 于各个自由度之间存在耦合关系，不便于提取全局质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵，因 此本文使用有限元的方法对其进行离散分析。将梁划分为 n 个节点，即(n-1)个小段，对 每一段的势能，动能和约束变分量进行积分处理，得到每一段的质量矩阵，阻尼矩阵和 刚度矩阵，再将每一段的质量矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵进行组集，最后得出全局质量 矩阵，阻尼矩阵和刚度矩阵。由于本文在有限元动力学分析中，自由度较多，积分项较 为复杂，因此，采用了计算机软件 Mathmatic 对积分过程进行操作。得到了梁单元的质 量矩阵，阻尼矩阵以及刚度矩阵，并将计算机软件 Mathmatic 中求得的梁单元的质量矩 阵，阻尼矩阵以及刚度矩阵输入至有限元软件 Octave 中，在有限元软件中实现梁单元 的离散和组集。同时，运用有限元软件 Octave 中自带的 lsode 算法对动力学方程进行最

终的求解，得到非线性欧拉-伯努利梁发生变形时的固有模态以及响应。求解模态时， 由振动力学知，结构模态包括固有频率与振型。在数学上，模态表现为关于质量矩阵和 刚度矩阵的广义特征值与特征向量问题。对于均质等截面梁， S 为常数，得微分方程

（4    x）  4（x） 0 。 方程的解确定梁 弯 曲振 动的模 态 函数 。 利用指 数 形式特解

（x）ex 导出本征方程 4  - 4  0 。

仿真模拟时，可通过调用 Octave 内置函数 eig 计算结构各阶模态，能够画出并判断 各阶振型。对于动力学方程的求解，调用内置函数 lsode 函数求解即可。为此首先需要 运用状态方程对原方程进行扩维降解变换，然后实现状态变量一阶偏导数函数，最终将 状态变量作为 lsode 参数之一被调用。lsode 函数的输出即为欧拉梁动响应的时间历程， 包括各节点位移和速度。常见的约束状况与边界条件有以下几种:来`自+优-尔^论:文,网www.youerw.com +QQ752018766-

（1）固定端 固定端处梁的挠度 和转角 x 均等于零，

（2）简支端 简支端处梁的挠度 和弯矩 M 等于零，

（3）自由端 自由端处梁的弯矩 M 和剪力 Fs 均等于零。 本文在算例分析中，则以固定端梁为例进行分析。固定端所在的节点其自由度均为

零。

欧拉梁之激励形式除了竖直方向上的简谐力外，还需要考虑添加简谐扭振。显式的 扭振激励有助于激发梁的扭转共振。本文进一步研究不同约束形式对梁之固有频率的影 响。