高中数学台体中的定比分点公式

关于圆台与棱台的平行于底面的截面问题，过去的《立体几何》教材给出了中截面面积公式，
本人发现任意截面面积有类似于定比分点公式的规律，而研究方法也正是用定比分点公式。
关键词：圆台、棱台、截面面积、定比分点公式
正文：求圆台与棱台——特别是棱台的平行于底面的截面面积，是一个较为复杂的问题，过去的《立
体几何》教材给出了中截面面积公式，本人在教学过程中发现任意截面面积有类似于定比分点公式的规律，
而研究方法也正是用定比分点公式。
问题 1£ºÈçÍ¼£¬ÔÚÔ²Ì¨ O1O2 中，圆 O 是平行于底面的截面，设圆 O1， O ，圆圆
O2 的面积分别为 S1，S，S2 ，若 O1O = λ ，则
           OO2
r=
              s + λ s2r1 + λ r2
         , s= 1
1+ λ1+ λ
证明：如上图以 O2 A 为 x 轴，O2O1 为
直角坐标系则在
y 轴建立
C(r,y).
xo2 y 平面内 B(r1 , y1 ), A(r2 , 0),
因为 O1 B // OC // O2 A ，根据平行线分线段成比例，有 O1O = BC = λ ，根据定比分点公式，有
OO2
CA
   r + λ r2
r= 1
    1+ λ
又S
S
C
O1 1
C
= π r 2 , S1 = π r12 , S 2 = π r2 2 ,
=
s
, r1 =
A1
B1
所以 r
s1
π
π
, r2 =
s2
π
, 代入①式并整理，
O
A
C2
A2
O2
B2
B
得 s=
s1 + λ s2
         ②
1+ λ
问题 2：①，②对棱台同样适合。
在如图所示棱台中， O1O2 是高，与底面平行的截面与 O1O2 交于 O， O1O = λ ，设上底面，截面，下底
OO2
面的面积分别为 S1 , S , S2 ，则
58

AB =
A1 B1 + λ A2 B2
     1+ λ
，
s=
s1 + λ s2
1+ λ
1+ λ ⋅
O2 B2
O1 B1 
证明：与圆台中证法类似可得 OB = O1 B1 + λ O2 B2 ，两边同除以 O1B1 ，得 OB =
1+ λ
O1 B1
1+ λ
易证 A1 B1C1 ，
ABC ， A2 B2C2 相似， O1 A1 B1 ， OAB ， O2 A2 B2 也相似。
由 O1 A1 B1 与
OAB 相似，可得 OB = AB
O1 B1
，由
A1 B1
A1 B1C1 与 ABC 相似，可得 AB
=
A1 B1
S，
S1
1+ λ ⋅
S2
S1
即 OB = AB =
O1 B1
A1 B1
                    S2S
   ，
   同理 O2 B2 = A2 B2 =
                       ，
                       代入*式， AB =
                        得
                         A1 B1O1 B1 A1 B1S1S1
s=
s1 + λ s2
         ④
1+ λ 高中数学台体中的定比分点公式:http://www.youerw.com/jiaoxue/lunwen_430.html