xij  = μi  + εij ，i = 1,2, ⋯ , r,  j = 1,2, ⋯ , ni;

 εij ~N  0, σ2 且相互独立；

将模型（2。1。3）称为单因素方差分析数学模型，它是一个线性模型。

2。1。2 单因素方差分析

式（2。1。2）等价于：H0: α1  = α2  = ⋯ = αr  = 0    , H1: α1, α2 , ⋯ , αr不全为零。 （2。1。4） 若是原假设H0被拒绝，则表明影响因素 A 不同水平的效应之间有显著性差异；否则，差异

不明显。

以下导出H0的检验统计量。方差分析法是在平方和分解和自由度分解的基础上创立的，考 虑统计量：

称ST为总离差平方和（或称总变差），它是所有数据xij 与总平均值x 的差的平方和，它描绘

了所有数据的离散程度。可以证明如下平方和分解公式：

SE表示随机误差的影响。这是由于对于不变的 i 来讲，观测值xi1 , xi2 , ⋯ , xini 是来自同一

正态中体N  μ , σ2   的样本。因此，它们之间的差异是由随机误差所导致的。而 ni       x   − x 2

是这ni个数据的变动平方和，正是它们的差异大小的度量。对 r 组这样的变动平方和进行求

和，得到SE，通常称SE为误差平方和或组内平方和。文献综述

SA表明在水平 Ai 下样本均值与总均值之间的差异和，它反映了 r 个样本总体均值间的差别。 由于x i∙是第 i 个样本总体的样本均值，它是μi 的估量，若 r 个样本总体均值μ1，μ2， ⋯ ，μr间

ni 2

的差别越大，这些样本均值x 1, x 2, ⋯ , x r之间的差异越大。平方和 r x    − x    正是用来

度量这种差异大小的，其中ni阐明了第 i 个样本总体的大小在平方和 SA 中的作用。将 SA 称作

因素 A 的效应平方和或组间平方和。

式（2。1。5）表示，总平方和 ST 可按其来源分解成两个部分，一部分是误差平方和 SE，它 是由随机误差引起的。另一部分是因素 A 的效应平方和 SA，它是由因素 A 各水平间的差异引 起的。

由模型设计（2。1。1），经过统计分析得到E SE = n − r σ2 ，即 且SE  ~χ2   n − r 。

σ2 SE   是σ2 的一个无偏估计，

如果假设H0 成立，则有E SA     =   r − 1 σ2 ，即

并且 SE 和 SA 独立。因此，当假设 H0 成立时，有：

是σ2 的一个无偏估计，且SA

F = SA     r−1   ~F  r − 1, n − r (2。1。6)SE     n−r 

于是 F 可以作为 H0 的检验统计量。对于给定的显著性水平α，用Fα r − 1, n − r 表示 F-分 布的上α分位点。若F > Fα r − 1, n − r ，则拒绝原假设，认为因素 A 的 r 个水平有显著差异。 同时可以通过计算 p 值的方法来决定是接受还是拒绝原假设 H0。其中 p 值为P F r − 1, n − r   >

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