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3 坐标与动量的阶梯算符

为了便于理解，我们先讨论一维的情况。已知，坐标和动量算符满足如下的对易关

系x，p=iℏ （3。1）

设坐标算符的本征值为x，那么其对应的本征矢量就为|x〉，于是有

x|x〉=x|x〉（3。2）这里我们用动量算符p来构造幺正算符Q+（a）

iQ+a=e−ap （3。3）

在（3。3）式中的a是一个实数。而又因为Q+a是幺正的，所以

iapQ+a与x满足如下对易关系即

xQ+a=Q+ax+aQ+a （3。5’）把（3。5’）式作用到|x〉上，有

xQ+a|x〉=（x+a）Q+a|x〉 （3。6）从（3。6）式可以看出，如果|x〉为x的本征矢量，则Q+a|x〉就也是x的本征矢量，那么它

所对应的本征值就为x+a。因为a是任意实数，于是可以得出结论：坐标算符x的本征值可

取一切实数，组成连续谱[3]。Q+a为作用于坐标本征矢量上的上升算符，即

Q+a|x〉=|x+a〉 （3。7）文献综述

把Q+a作用于|x〉，因为Qa=Q+−a，于是有

Qa|x〉=|x−a〉 （3。8）

所以，Qa就是|x〉的下降算符。这里，升降算符就是把坐标算符x向左平移或向右平移a。知道了Q+a和Qa以后，从任何一个本征矢出发，所有x的本征矢量|x〉就都能得到。同理，对于动量算符我们也以用上述方法进行讨论。设p的本征值为p，它相对应的本

征矢则为|p〉，然后写出其本征方程