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定理2　 与 是给定的两条空间直线．其中 ，则由 和 所确定的直线束可以表示为

其中 和 是两个不全为零的任意实数．论文网

当直线束不含 时，可简记为 ，当直线束不含 时，可简记为 ．

4  直线束的应用

4。1  平面直线束的应用

(1)求过已知点并过已知两直线的交点的直线方程

例1　求过点 ，且通过直线 与 的交点的直线方程．

分析　通常一般会把两直线交点求出，然后设直线方程，把两个点代入，进行化简求参，从而求得直线方程．这里，也可以先构造直线束方程，再根据把点代入求出直线束方程的参数的比值，从而得到所求直线．

解　构造直线束 ，由已知将点 代入，

得 ，从而有 ，所求方程为  ，

整理得 ，即为所求直线方程．

(2)求过两直线交点并在两坐标轴上截距相等的直线方程

例2　求经过两直线 和 交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．

分析　这里一般会把两直线交点求出，然后设直线方程，把两坐标轴上的截距用参数表示，联立等式求参数的比值，从而求得直线方程．同样，也可以先构造直线束方程，再根据两坐标轴上的截距相等求出直线束方程的参数的比值，从而得到所求直线．

解　设所求直线束方程为 ，

化简得 ，

当 时，即 ，此时方程为 ，则在 、 轴上的截距均为0，代入方程并化简得 ；

当 时，则在 、 轴上的截距分别为 和 ，由题意得

 ，

解得 ，代入方程并化简得 ．

综上所述，所求直线方程为 或 ．

4。2  空间直线束的应用文献综述

(1)求过已知点并与已知直线垂直的直线方程

例3　求过点 且与直线 垂直相交的直线方程．

解　在已知直线上任取两点 ， ，由 ， 与点 确定的直线束是 ，

其中 、 不全为 ．由两直线垂直可得 ，

化简得 ，代入直线束中，得所求直线束方程是 ．

(2)求过已知点且与已知两直线都相交的直线方程