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摘要：本文首先简介了课题的相关理论背景以及实验研究，然后阐明了整个计算过程并分析了所得理论结果的物理意义，最后对本论文的工作进行总结讨论。本论文研究了具有三个非线性项的一维广义立方-五次非线性薛定谔方程（GCQ-NLSE），以及在某些实验设置下，此方程模拟的一些系统的高阶非线性效应。计算方法主要是通过坐标变换，F-扩展方法与模数相变相结合找到Gross-Pitaevskii方程的分析解，且不利用任何可积分条件。找到模型的分析解后，再分别讨论单孤子和双孤子对解，论证了以非线性为特征的系统建模的特殊非线性，表明了课题理论处理的适用性。

关键词：玻色-爱因斯坦凝聚，Gross-Pitaevskii方程，BCS-BEC理论，孤子

Abstract：We study the one dimensional generalized cubic-quintic nonlinear Schrödinger equation (GCQ–NLSE) with three nonlinear terms that is in cubic-quintic formulation and the general format of polytropic approximation. We find the analytical solution of the GCQ–NLSE through the F-expansion method without utilizing any integrability Condition.   We    solve   the Gross-Pitaevskii   equation   with   cubic   quintic-septic nonlinearity which models some system’s high order nonlinear effect under certain experimental setting. Through the F-expansion method combined with modulus-phase transformation, we find the analytical solution of the model, identifying  single and twin pair soliton solutions, demonstrating the particular nonlinear feature  of  the system  modeled  with  nonlinearity  up to septic  order.

Keywords ： BEC-BCS crossover; Gross-Pitaevskii equation, Bose-Einstein condensation,  soliton

目录

第一章绪论1

1.1玻色-爱因斯坦凝聚1

1.1.1爱因斯坦标准-1

1.1.2杨氏标准--2

1.1.3Penrose-Onsager标准2

1.1.4命令指数--2

1.1.5凝聚存在--3

1.2Gross-Pitaevskii方程--4

1.3BCS-BEC理论-6

1.4本文的主要内容8

第二章推导9

2.1目标方程9

2.2变换坐标9

2.3F-扩展方法10

2.4小结12

结论-15

致谢-16

参考文献--17

第一章绪论

众所周知，许多物理系统的行为是非线性的，并且由非线性偏微分方程建模。例如，在冷原子物理场中，Bose-Einstein凝聚（BEC）被大量研究，Gross-Pitaevskii方程（GPE）是BEC相关研究的可靠方程模型。在量子光学中，非线性薛定谔方程（NLSE）是光纤中光脉冲传播的描述方法。过去几十年来，研究人员以“立

方非线性”[1-6]为重点，研究了NLSE的很多理论，但是处理较高阶非线性的作品相对较少，尤其是在某些情况下，须要考虑BEC中的两体和三体相互作用时，或者在非线性介质内传播的光脉冲强度超过某一阈值时，高阶非线性就起作用了。虽然非线性秩序越高，相关非线性相互作用强度越弱[7]。此外，一维模型被证明在建模许多物理系统中非常有效，其中典型的是BEC系统应用在细长的谐波电位中[8,9]。在本文中，主要研究具有参数化的立方-五次-非线性（PCQS）的一维广义Gross-Pitaevskii方程（GPE），其中采用多变近似方法，并保持模型三

个非线性项功率指数分别为2�，4�和8�，其中�=1对应于常规立方-五次。同

时利用结合耦合模相相变的F-扩展方法对GPE-PCQS进行解析，并确定了可以

在一维光学系统中被检测为光脉冲的典型孤子型解。我们发现了在正确的参数设置下，由GPE-PCQS建模的系统提供单对和双对孤子解决方案。 (责任编辑：qin)