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摘要：复变函数是一个十分重要的学科，它研究的主要对象是解析函数，而调和函数与次调和函数又是其中比较有用的分支，它们被运用于许多学科的实践中。

本文利用平均值定理给出了次调和函数的定义和利用拉普拉斯方程定义的调和函数，还证明了在拉普拉斯方程下定义的次调和函数。探讨了调和函数的某些性质，以及利用泊松核证明圆域内的Dirichlet问题有解，并把调和函数的这些性质推移到次调和函数上去分析，得出它们的联系。最后还说明了次调和函数的应用以及重点叙述了用次调和函数解决Dirichlet问题。把之前的圆域拓展到一般区域，分析Dirichlet问题有解的条件和区域的限制，并举例证明。关键词：调和函数；次调和函数；Perron函数；泊松积分；Dirichlet问题。

Abstract：Complex function is a very important discipline, and the analytic function is one main object of the Complex function. Harmonic function and subharmonic function is one of the more useful branch on it. They are applied to many disciplines in practice.

In this paper, we used the mean value theorem to give the definition of the subharmonic function and the harmonic function defined by the Laplace equation. We also proved the definition of the subharmonic function by the Laplace equation. We discussed Some properties of the harmonic function, and proved the Dirichlet problem in the bright domain by using Poisson's kernel. Then we analyzed the connection between the two functions by transferring these properties of the harmonic function to the subharmonic function. Finally, the applications of the harmonic function were described by us, and we emphasized how to solve the Dirichlet problem by using the harmonic function. We Extend the previous circle to the general area, and analyzed the Dirichlet problem with the conditions of the solution and the limitations of the region, and exemplified it.

Keywords: Harmonic function; Subharmonic function; Perron function; Poisson integral; Dirichlet problem.

前言：从16世纪中叶建立复数理论开始到如今，经过大量数学家的探索和奋斗行成了十分系统的理论，并且深刻地渗入到代数学、解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支中；同时，它在热力学、流体力学和电学等方面也有很多的应用。并且，还开辟了一些新的分支，譬如复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论、多复变函数论、广义解析函数论和拟共形映射等。复变函数研究的中心对象是所谓解析函数，而解析函数都是调和函数，所以对调和函数与次调和函数的研究就变得很有必要了。近些年来，数学分支不断扩大，新的数学理论不断产生，运用到复变函数的研究中，使得很多问题都得到解决同时也产生很多新的数学问题。随着复变函数的发展，调和函数与次调和函数的研究得到了重视，使得其在研究积分学和解析函数方面提供了很大的帮助。

调和函数是一种十分重要的函数，它常被用来解决诸如流体力学、电学、磁学等实际问题。而次调和函数是调和函数的一种特殊情况,在实际应用中也十分广泛，它可以解决很多复分析中问题，所以研究它是非常有必要的。

对于调和函数的最大值原理等性质应用到次调和函数上去是否也成立，我们在接下来的研究中做了一系列分析，说明了调和函数与次调和函数的联系。而调和函数理论中最重要的问题是求给定边界值的调和函数，也就是Dirichlet问题。而Dirichlet问题在当今数学界仍是一个非常热门的方向，因为在许多科学研究中都会遇到Dirichlet函数，这使得许多数学家不遗余力地追求一个完美的区域，使其成为Dirichlet域。在接下来的研究中，我们也会对这个问题进行简单讲述。本文主要介绍了调和函数与次调和函数的性质以及它们之间的联系，并介绍了Dirichlet问题，以及运用次调和函数来解决Dirichlet问题的方法。 (责任编辑：qin)