非正常积分的敛散性的判定和计算(3)
时间:2019-03-10 19:47 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
（2） 那么称这个极限为反常函数 在 上的反常积分，记作 （2,） 并且称为反常积分 是收敛的。如果上述极限（2）不存在，那么这时我们也说反常积分 是发散的。 在上述的定义中，如果被积函数 在点 近旁是无界的，那么点 称之为函数 的瑕点，而该无界反常积分 我们又称其为瑕积分。 2.2 无穷积分的性质 以下定理2.3，2.7和性质2.4，2.5,2.6以及推论2.8出自高等教育出版社出版的第四版《数学分析》上册。 定理 2.3 无穷积分 收敛的充要条件是：任给 ，存在 ，只要 ，便有 通过对比研究函数极限的性质与积分定义的性质，我们可以得出以下的结论。 性质 2.4 若 与 都收敛， 为任意常数，则 也收敛，且 性质 2.5 若 在任何有限区间 上可积， ，则 与 同敛态（即同时收敛或同时发散），且有 其中右边第一项是定积分。 性质 2.6若 在任何有限区间 上可积，并且有 收敛，则 亦必收敛，并有 定理 2.7（比较原则） 设定义在 上的两个非负函数 和 都在任何有限区间 上可积，且满足 则当 收敛时 也收敛（或者说若 发散时， 也一定发散）。 推论 2.8 如果 和 都在任何有限区间 是可积的，当 时， ， ，且 ，则有 (i) 当 时，和 同敛态； (ii) 当 时，由 的收敛可以推断出 的收敛性； (iii) 当 时，由 的发散可以推断出 的发散。 (责任编辑：qin) |