论数值积分的方法及其在MATLAB中的实现(2)
时间:2019-07-30 12:49 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
在数值积分的方法理论基础上，利用MATLAB以简化计算，完美地达到了理论知识和生活实践的相互结合。其数据的可视化功能更是加深了人们对数值积分方法的深层次理解。也正因为如此，MATLAB软件——这个功能强大的科学计算软件，成为了人们研究数据，计算分析，绘图比较的首选工具。 1.数值积分概述 1.1数值积分的基本思想 微积分的发明开启了人类科学史上的新篇章，在科学技术的应用中，积分是一个非常重要的计算环节。 理论上来说，任何可积函数 都有原函数，可用牛顿-莱布尼兹公式积分。但实际问题往往要复杂得多。如求某些简单形式的函数（比如 等）的原函数，其过程会相当复杂；或者函数（如 ）本身不复杂，原函数也存在，但是原函数的表达式相当复杂；或者被积函数没有具体解析表达式，而以表格形式给出等情况。这时，传统的方法已经不能适用。 数值积分是求定积分的近似值的数值方法，即用被积函数的有限个抽样值的离散或加权平均近似值代替定积分的值。因此针对前面的问题，就需要用到数值积分法。 数值积分的思想方法是将积分区间细分，在每个小区间内用简单函数替代复杂函数进行积分运算。 积分值 在几何意义上的直观理解，可解释为由 所围成的曲边体形的面积。由于曲边梯形由一条边是 是曲边，导致计算该曲边梯形的面积比较困难。这时我们通常用较容易计算面积的图形来代替曲边图形，即用直线或者抛物线等来代替曲边。这样就求出了曲边梯形面积的近似值，进而得到积分的近似值。 基于这种思想方法，构造出了几种简单的求积分值的近似公式，下面列举几种公式： （1）矩形数值积分公式 将积分区间[ ]做如下划分 ,将每一个小区间近似看成小矩形，以小矩形的面积来近似代替曲边梯形的面积，再将各个所求得的小矩形的面积相加，即得数值积分公式： ……左矩形公式 ……右矩形公式 ……中矩形公式 （2）梯形数值积分公式 同理，将每个小区间的曲边梯形面积近似看成梯形面积再求和，即得梯形数值积分公式： （3）抛物线型数值积分公式（又叫辛普森公式） 以上几个公式的关键在于区间的选取，精度不高，误差较大，但计算简单，为使得精度相对较高，可采用抛物线型数值积分公式： 这几个公式的实质都是采用[a, b]上若干节点 处的函数值f( )进行适当的加权平均得到的。像这样的公式一般的形式为： 其中，我们称 为求积节点， 为求积系数（求积系数的基本特性是求积系数之和等于积分区间长度）， 仅与节点的选取有关，与被积函数 的具体形式无关。因此该求积公式具有通用性。 上述几种近似求积公式称为数值求积公式，又叫机械求积公式。它的特点是将数值积分求值的问题转化成了求函数值的问题，从而避免了寻求原函数的困难，并为计算机求积分提供了可行性。 1.2代数精度 由于数值积分的方法是近似计算法。对于积分结果的精确度，自然是希望能尽可能的高。 求积公式 具有m次代数精度是该公式对于 或者 均准确成立，而对于 不能准确成立。 一般来说，代数精度越高，求积公式越精确。 例1 设积分区间[a,b]为[0,2]，取 时，试比较中矩形公式，梯形公式以及辛普森公式的计算结果和准确值。 (责任编辑：qin) |