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数项级数①的前 项之和，记为  

 ﹦ ﹦ ﹢ ﹢…﹢ ，        ②

称它为数项级数①的第 个部分和，也简称部分和.

1.2数项级数的和(定义2)：若数项级数①的部分和数列{ }收敛于 (即  = )，则称数项级数①收敛，称 为数项级数①的和，记作

               = ﹢ ﹢…﹢ ﹢…  或   = .

若{ }是发散数列，则称数项级数①发散.

1.3正项级数的定义：若级数   ﹦ ﹢ ﹢…﹢ ﹢…   中各项都是非负的( 即 )，则称该级数为正项级级数.由正数和零构成的级数称为正项级数.

2正项级数敛散性的判别举例

2.1首先考察  的通项 在 时是否趋向于零.

若  0，则 必发散.但是确定  0不是很容易`优尔|文\论*文-网www.youerw.com，有时可以不一定求出其极限值，而设法断定它的极限不可能是零即可.

注意，如果求得通项的极限 ＝0，则并不能由此断定原级数收敛，此时，就需要进一步采用其他的判别法.

例1  试判断下列级数 的敛散性，其中，设

(1) ＝ ；           (2) ＝ ；

（3） ＝ .

解  (1)考虑到级数通项 的极限是“ ”型不定式，有

               ＝  ＝  ＝ ＝1 0.

因而由级数收敛的必要性条件知原级数发散.

(2)因为 ＝ ﹥ ，而  ＝  ＝1，所以由极限保号性知   0,故原级数发散.

(3)注意到

 知  不存在，所以由级数收敛的必要条件得原级数发散.

注记  由确定  0得 必发散是判断级数 敛散性的首要一步论文网.而确定通项 的  0可以直接计算它的极限值而知其不为零；但是当极限 不存在时，或者直接求得其极限值较为困难时，往往可以借助不等式或 的子数列等间接方法证明  0而判定 发散.

2.2应用比较判别法确定正项级数 的敛散性.

定理1(比较原则)  设 和 是两个正项级数，如果存在某正数 ，对一切 都有      

 则

(ⅰ)若级数 收敛，则级数 也收敛；

(ⅱ)若级数 发散，则级数 也发散.

使用比较判别法应注意：级数 与 都必须是正项级数，且只能是两级数的通项 和 相比较， 切不可将两级数本身比大小；当然，也可以在 充分大以后建立 与 的不等式，这是因为级数的收敛与发散是跟其前面有限项无关的.应用比较判别法的困难是寻找用于比较的级数的通项并建立适当的不等式.利用递推关系、归纳法、极限的分析定义、极限的保号性等都是建立通项不等式的有效方法.