平面解析几何中参数思想的渗透与应用(2)
时间:2020-06-13 11:44 来源:毕业论文 作者:毕业论文 点击:次
2 关于参数思想与参数方程的基本知识2.1 参数思想与参数方程的概念在初等数学的学习中，解决一些关系比较复杂的问题时，时常需要通过引入一个或多个与已知变量有一定联系的变量， 把已知量通过该中间变量有效地联系起来,方便思考或者简化问题.精炼一点表达， 参数思想就是一种利用参数作为媒介去刻画变量之间关系的思维方式[1].如果，在平面直角坐标系中，取曲线上任意一点 p y x, ，其中 y x, 可以由变量t表示成 ( )( )x f ty g t （1）, y x, 是变量t 的函数，同时在t 的符合的取值范围内，由方程组（1）所对应的点P y x, 都在这条曲线上，那么我们就把方程（1）看做是这条曲线的参数方程，其中t 叫做参变数，简称参数[2].所以说，参数也可以被形容成“一座连接已知变量的桥梁”. 2.2 如何选择参数并构建参数方程首先，在初等解析几何中，我们最常遇见的就是这几类参数：关于坐标的点参数,与直线方程有关的截距参数、斜率参数，时间参数，角度参数等等.所以在参数的选择上要清楚以下几点：第一，曲线上任意一点 ) , ( y x 都可以用对应的相关参数唯一的表示出来， 这样我们就可以确定参数表示的合理性与科学性.第二，对于参数的选取我们应该尽量地向参数个数比较少、参数范围好确定、参数与已知的变量之间的联系较紧密的方向去努力.第三，在参数的选取的过程中，应该根据具体的条件来考虑.线段的长度、旋转角，直线系方程的斜率、截距等等的因素都可以根据具体需要去考虑能否作为参数.有时候根据实际情况，我们也可选两个以上的参数以便于列出等量关系， 然后再去观察题目条件想办法消去参数来得到普通方程，或者消去其中的一个参数方程，得到比较容易处理的目标.当我们确定好参数之后，就需要我们根据已知变量的关系来建立参数方程.其实我们给出的曲线的一般方程 0 ) , ( y x F 反映直接明源!自`优尔'文"论/文`网[www.youerw.com显的就是变量x 与 y 之间的关系，但是参数方程例如：) () (t g yt f x D t 则是通过参数t 来建立起已知变量x 与 y 的之间的关系.换一种方式来讲，一条曲线的一般方程与它的参数方程他们两者之间的关系可以总结为： 一般方程可以通过引入适合的参数建立一定的联系来构造出参数方程，而参数方程也可以通过适当的变形消参变成一般方程.一般建立曲线参数方程一般步骤有：(1) 设点：在直角坐标系上用 y x, 来表示曲线上任意一点P 的坐标；(2) 选参:选择适合的参数；(3) 表示:依据题目条件和参数的实际意义，用参数变量来间接地表示 y x, 两变量之间的关系式；(4) 建立:用参数方程来表示曲线的方程； （5）确定范围：确定参数的取值范围.下面列举一些在初等数学教育中常见的参数方程[3].(1)一般曲线的参数方程是 ( ) y g t (t 为参数).(2)若一直线过定点 ) , ( 0 0 0 y x P ， 为该直线的倾斜角， ) , ( y x P 是这条直线上的任一点，且 P P0 的长度为t ，那么这条直线的参数方程就是 sincos00t y yt x x，当P 点在 0 P 的上方时即 0 t ；当P 在 0 P 的下方时即 0 t .(3)圆的参数方程即 2 2020 ) ( ) ( r y y x x 的参数方程为： sincos00r y yr x x（ 为参数，表示动半径的旋转角）.(4) 椭圆的参数方程即 2 2 202 202) ( ) ( b a y y a x x b 的参数方程为： sincos00b y ya x x（ 为参数，表动点 ) , ( y x P 的离心角）.(5) 双曲线的参数方程即 2 2 202 202) ( ) ( b a y y a x x b 的参数方程为： tansec00b y ya x x（其中 为参数，表示的意义是双曲线上动点 ) , ( y x P 的离心角）.(6) 抛物线的参数方程即 ) ( 2 ) ( 020 x x p y y 的参数方程为： pt y ypt x x22020（其中t 为参数，表示的意义是动点 ) , ( y x P 与顶点连线斜率的倒数）.2.3 确定参数范围如果我们构造出了参数方程，但不给出明确的参数取值范围，那么可以说，这个参数方程是没有具体的意义的，因为它没有任何的条件限制.而如何确定参数的取值范围这个问题， 所考虑的其实也就是运用已知变量之间的联系与变化范围来确定出目标参数的变化范围.在初等解析几何当中， 一般需要考虑三个方面；第一，已知变量的客观范围；第二，已知变量之间关系的客观约束情况；第三， (责任编辑：qin) |