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2 静电场的电势法

2.1静电势及其满足的方程

静电场的标势是一个很重要的概念，静电问题常常都是通过标势来求解的。在静电的情况下电势与电场的关系为

 ，  

若研究空间的电场分布与激发电场的源之间的局域关系，需要借助微分形式的场方程。在均匀、各向同性线性介质中，有

此即泊松方程。若在所研究的区域内没有自由电荷体密度，则泊松方程就变成拉普拉斯方程， 。

2.2 静电势的求解方法

静电势的求解方法我们可以分为两个部分，第一个是电势叠加原理法，即特解法；第二个是求解电势的边值问题法[1]。

(Ⅰ)下面我们来先看看电势叠加原理法。为了计算给定电荷分布所激发的电势，从点电荷Q所激发的电场出发，其强度为

                                       (1)

其中， 是源点与场点之间的距离。由于电场具有叠加性，多个点电荷所激发的电势 就等于每个电荷激发电势的代数和。假设有一组点电荷 与场点P的距离是 ，则所激发的电势之和为

                                  (2)

对于电荷连续分布情况，设电荷密度是 ，源点 与场点 之间的距离为 ，则场点 处的电势为

值得指出，(2)式及(3)式均隐含着电荷分布在有限区域，即已选无限远为零电势参考点 的条件。当电荷分布在无限区域，若用(3)式进行计算则结果会发散。关于电势零点的选择，讨论如下：

在点电荷的场中，不能选取点电荷所在处 参考。同理，线电荷也不能选取线电荷所在处 参考。

在均匀电场中，不能选取无限远处 参考，否则各处 ，失去意义。

若电场满足形式 ，则可取 参考。因为 ，只当 时结果才为有限。可见，均匀电场E=常量；均匀带电长直（或圆柱）， ；……；均不可取 参考。