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（1）基本形式的拉格朗日方程

根据牛顿运动定律得第 个质点所受的动力学方程为：       

                                    （1）

则整个力学系统所满足的方程为：

                                （2）

（2）式中 代表主动力， 代表约束反力。我们也可以看成力学体系在主动力和被动力以及质点加速度产生的惯性力作用下保持平衡。利用反映平衡关系的虚功原理，并且考虑

理想约束的情况[1]，则（2）标乘虚位移 ，就有：

                                （3）

由于质点组中质点存在约束关系，非自由质点，所以等式中 之前乘数不能都等于零。因此n个 不独立，为了使用处理问题，我们改用广义坐标 等来表示。当然，相应的 及 等也要用广义坐标及其微商等来表示。如果n个质点的力学体系含有k个约束，那么广义坐标数为s=3n-k个，我们用广义坐标 来表示，用它就可以描述整个力学体系的运动状态。由数学上的全微分表示：

               （4）

如果把实位移 改成虚位移 ，则虚时间 ，则由（4）得

带入（3）并整理得：              （6）

求和号一个是对指标 的求和，另一个是对指标 求和，互不关联