1.预备知识
定义1   对于给出的两个曲面：
若参数 之间有变换 ，使 存在一一对应，且假设在里，函数 连续，且有连续的偏导函数，而且函数行列式
 
则在 确定了一种一一对应关系，也确定了由 到 的变换（或映像）和由 到 的变换.
曲面的第一基本形式 它的系数 ， . 类曲面s的第二基本形式为 ，其中， . 表示曲面在一点的单位法向量.
定义2      上一点( ， )点的切方向称为曲面上的方向，其中 和 是过点 的坐标曲线的切向量.曲面上的两个方向（d）=(du:dv),( )=( ,我们把 间的交角称为两方向的夹角.
命题1.1  垂直的条件是 .
    证明  设方向 和 间的交角 .由于
由这个公式，就可以推出曲面上的两个方向（ 和 垂直的条件是
定义3     如果在两个曲面的点与点之间有一种一一对应关系，并且使对应曲线的交角相等，则称此对应关系为共形对应，共形变换被称为保角变换.
定义4     如果自变量为复变数 的一个函数 ，
在复平面上的某一区域 内处处可微且满足 条件，则称 是区域 内的解析函数.
命题1.2  解析函数的实部和虚部分别满足      .    
    证明  一个复变函数是解析函数的必要条件是其实部和虚部满足柯西-黎曼方程：
将上面第一式对 求偏导数，第二式对 求偏导数，然后相加可得 同理有，
可得出解析函数的实部和虚部都分别满足二文拉普拉斯方程.因此，解析数的实部和虚部都是调和函数并且把他们成为共轭调和函数.
把（1.2-1）中两式分别相乘，可得
由此可见，矢量 和 相互正交.而 和 正是u=常数，v=常数的两曲线的法向矢量.所以由（1.3-2）式可得u=常数和v=常数的两曲线簇相互正交.我们知道，静电场中的等势线簇 =常数和电力线簇 =常数是互相正交的，而且它们也满足柯西-黎曼方程，是共轭调和函数.因此可把它们看作是一个解析函数的实部和虚部.例如令电势 .
综上所述，解析函数的实部和虚部分别满足
 2.共形变换的性质
性质2.1  每一种等距变换都是等角.
这是因为已知曲面的一个等距变换，若选择曲面的参数使得对应点的参数值相同并且这两个曲面有同样的第一基本形式，又因为曲线的交角可以从第一基本形式确定，所以，有相同的第一基本形式就保证了有相同的交角.
性质2.2  设曲面 和 的点之间可建立一一对应，经过适当选择参数后使对应点的参数值相同，则所给对应是等角对应的充要条件是它们的第一基本形式成比例，即成立 = ,或 (2.2-1).其中 = .
    证 充分性 设曲面 可建立对应，对应点的参数值相同，则对应曲线有相同的参数方程，对应方向有相同的微分 ，若用 表示曲面s上两曲线间的夹角，用 表示在 上两曲线间的夹角.由交角公式知

因为（2.2-1）成立，所以 ，即 ，因此此对应为等角对应.必要性 设 之间有一个等角对应，经过适当选择参数，使对应点有相同的参数值.所以对应方向有相同的 ，在 上去两个方向.第一个方向是 ，另一个方向是 . 所以 在此等角对应下 对应的方向也与其相同,所以 所以 ,同理得: 曲面共形变换的性质和运用探究(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_10089.html