的方程，若为正定的矩阵,则称为椭圆型的；若的最大特征值与最小特征值之比有界，则方程(1-1)称为一致椭圆型的。经常考虑的是方程(1-1)的如下三种边值问题;

①第一边值问题（狄利克雷问题）,其边界条件为。

②第二边值问题(诺伊曼问题),其边界条件为

③第三边值问题(混合问题),其边界条件为，这里α可在嬠的部分点集上为0,v方向与补法线方向夹角小于π/2。 

　　二阶椭圆型方程的研究甚早，在50年代以前，对方程(1。1) 的一些基本边值问题的可解性就获得某些成果。在几十年的发展中，建立了各种解法，例如，绍德尔方法、泛函方法、差分法、变分法、积分方程法，等等。 文献综述

　　绍德尔方法是建立在绍德尔估计之上的。设表示k次连续可微且k阶微商赫德尔连续的函数类，又设是中的区域，方程(1-1)的所有系数和自由项都属于。所谓绍德尔估计,是指若方程(1-1)在中有解u,并且,则

式中с是一个与方程(1。1)和区域有关的常数。 

　　在上述假设下,由泊松方程具有解u以及一般线性方程的极值原理,当с≤0时可以得的估计。因此利用绍德尔估计和参数的连续开拓就可以证明方程(8) 的狄利克雷问题的解的存在性。作为极值原理的一个直接推论：当с≤0时狄利克雷问题的解是惟一的。 

　　泛函方法肇端于K。O。弗里德里希斯1934年关于对称椭圆算子半有界扩张的工作。H。外尔，C。Л。索伯列夫、C。Γ。米赫林和М。И。维希克等人在40年代末期的进一步研究表明，解椭圆型方程的基本边值问题等价于解形如x＋AX＝ƒ的算子方程,其中A是希尔伯特空间的全连续算子。从而由泛函分析的里斯－绍德尔理论得到椭圆型方程可解性的所谓“二择一原理”。 

　　近几十年来椭圆型方程的重大进展之一，是解拟线性椭圆型方程

通常用勒雷－绍德尔不动点原理。 

　　设是巴拿赫空间,T是从到的一个完全连续映射，对所有x∈B,使得T(x,0)=0。若存在M,使得对满足x＝T(x,t)的所有,有，则T1x＝T(x,1)在B中有不动点。这就是勒雷-绍德尔不动点原理。考虑问题簇

式中Q1＝α，Qt对所有都是椭圆的。定义u＝T(υ,t)是线性狄利克雷问题

的惟一解。于是可以看出,方程(1-2)的狄利克雷问题的解u就是T(υ,1)的不动点。通常取B为,0<β<1。对系数加以适当限制就可使得T满足勒雷－绍德尔原理的要求，于是方程(1。2)的狄利克雷问题就化为求问题簇的(捙)解的先验估计。 来自~优尔、论文|网www.youerw.com +QQ752018766-

　　高阶椭圆型方程组 　形如下面的方程组

，此处，对一切， 是最一般线性椭圆型方程组。这个定义是И。Γ。彼得罗夫斯基给出的。 

　　对于如此广泛的方程组，有些人例如，L。赫尔曼德尔讨论过它的一般边值问题：

此处是变系数的微分算子,与μ之间存在着某种关系。 

　　这样的边值问题，一般经典的弗雷德霍姆备择定理不成立。维希克和L。尼伦伯格等人提出了一个子类，称之为强椭圆组，对于它的某些基本边值问题，弗雷德霍姆备择定理是成立的。