2。3 无穷积分的敛散性判别论文网
对反常积分,若对任意的,存在,称反常积分收敛且称上述极限值为反常积分的值,即。故可以看出,反常积分由定义计算可分两步:
第一步:求定积分:。
第二步:取极限:。
例2。3。1 计算反常积分
解 第一步: ;
第二步:当趋于时,。
所以=0。
定理2。3。1[1](比较判别法)
设在区间上,有其中T是正数,并且对任何, 函数和在区间上均可积,所以如果收敛时,那么也收敛;若发散时,那么也发散。
推论(比较原则的极限形式):设在区间上,有函数 , , ,那么
<i> ,那么发散时,发散;
<ii> ,则收敛时,也收敛。
证 如果,那么存在常数,当时成立,,即,由比较判别法,当收敛时,也收敛。
如果,那么存在常数,当时成立,其中(当时,可以取任意正数)即,由比较判别法,当发散时,也发散。
定理2。3。2[1](Cauchy判别法)
以为比较对象,即取=,以下假设。若对任何,且>1,那么收敛,若,≤1,则发散。
推论(Cauchy判敛的极限形式):设在上恒有,并且有,则
(1),p>1,则收敛;
(2)如果,p≤1,则发散。
定理2。3。3[1](阿贝尔判别法与狄利克雷判别法):
如果下列两个条件之一满足,那么收敛
(1)阿贝尔判别法:若在区间上可积,单调有界;
(2)狄利克雷判别法:设在区间上有界,在上单调并且。
证:(1)如果Abel判别法条件满足:记G是在的一个上界,因为收敛,由Cauchy收敛原理,存在,使得对任意的,有
由积分第二中值定理,文献综述
(2)如果Dirichlet判别法条件满足,记是在的一个上界,此时对任意,显然有
因为,所以存在,当时,有
于是,对于任意的
所以无论哪个判别法条件满足,有Cauchy收敛原理,都有收敛的结论。
例2。3。3。1判别无穷积分的 ()收敛性。
被积函数在上连续且恒为正,并注意到,因此
由的敛散性及比较原则可以知,当,无穷积分发散,当,无穷积分收敛。
例2。3。3。2 讨论积分的敛散性
显而易见,该积分为非负函数的积分,可以使用比较判别法,由不等式
知,当,那么积分收敛,从而收敛。来自~优尔、论文|网www.youerw.com +QQ752018766-
当,由积分发散,因此可以推出也是发散,从而有发散。
第三章 瑕积分的定义与性质讨论
3。1 瑕积分的定义
定义3。1。1[1] 设函数,而在点a的右领域内无界,取,如果极限存在,那么称此极限为无界函数在上的广义积分,记作
反常积分的研究(3):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_102525.html