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反常积分的研究(3)

时间:2022-11-26 18:47来源:毕业论文
2。3 无穷积分的敛散性判别 论文网 对反常积分,若对任意的,存在,称反常积分收敛且称上述极限值为反常积分的值,即。故可以看出,反常积分由定义

2。3 无穷积分的敛散性判别论文网

   对反常积分,若对任意的,存在,称反常积分收敛且称上述极限值为反常积分的值,即。故可以看出,反常积分由定义计算可分两步:

第一步:求定积分:。

 第二步:取极限:。

    例2。3。1 计算反常积分

    解   第一步: ;

         第二步:当趋于时,。

         所以=0。 

   定理2。3。1[1](比较判别法)

    设在区间上,有其中T是正数,并且对任何, 函数和在区间上均可积,所以如果收敛时,那么也收敛;若发散时,那么也发散。

   推论(比较原则的极限形式):设在区间上,有函数 , , ,那么

   <i>    ,那么发散时,发散;

   <ii>   ,则收敛时,也收敛。

      证 如果,那么存在常数,当时成立,,即,由比较判别法,当收敛时,也收敛。

    如果,那么存在常数,当时成立,其中(当时,可以取任意正数)即,由比较判别法,当发散时,也发散。

    定理2。3。2[1](Cauchy判别法)

    以为比较对象,即取=,以下假设。若对任何,且>1,那么收敛,若,≤1,则发散。

   推论(Cauchy判敛的极限形式):设在上恒有,并且有,则

  (1),p>1,则收敛;

  (2)如果,p≤1,则发散。

    定理2。3。3[1](阿贝尔判别法与狄利克雷判别法):

 如果下列两个条件之一满足,那么收敛

  (1)阿贝尔判别法:若在区间上可积,单调有界;

   (2)狄利克雷判别法:设在区间上有界,在上单调并且。

证:(1)如果Abel判别法条件满足:记G是在的一个上界,因为收敛,由Cauchy收敛原理,存在,使得对任意的,有

由积分第二中值定理,文献综述

  (2)如果Dirichlet判别法条件满足,记是在的一个上界,此时对任意,显然有

因为,所以存在,当时,有

于是,对于任意的

   

所以无论哪个判别法条件满足,有Cauchy收敛原理,都有收敛的结论。

     例2。3。3。1判别无穷积分的 ()收敛性。

        被积函数在上连续且恒为正,并注意到,因此

由的敛散性及比较原则可以知,当,无穷积分发散,当,无穷积分收敛。

      例2。3。3。2 讨论积分的敛散性

   显而易见,该积分为非负函数的积分,可以使用比较判别法,由不等式

知,当,那么积分收敛,从而收敛。来自~优尔、论文|网www.youerw.com +QQ752018766-

当,由积分发散,因此可以推出也是发散,从而有发散。

第三章 瑕积分的定义与性质讨论

3。1 瑕积分的定义

   定义3。1。1[1]  设函数,而在点a的右领域内无界,取,如果极限存在,那么称此极限为无界函数在上的广义积分,记作

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