1。4 研究意义 最值问题作为中学数学中的一个难题在整个中学知识体系中有着举足轻重的地位，研究这

一问题可以帮助学生进一步全面的了解和掌握这一块知识，在变化的情境中寻找最值。系统 的整理这一块知识也有利于老师更好的讲解和拓展。同时这类问题也和我们的生产生活紧密 相关，有利于激发学生的学习兴趣，提高学生在生活中解决实际问题的能力。

第二章 中学数学中主要的最值问题及解决方法 2。1 将军饮马问题

2。1。1 将军饮马问题的历史背景 将军饮马问题第一次出现在初中数学八年级上《图形的轴对称》这一课中，其问题据说始

于古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者名叫海伦，一天一位罗马将军 专程去拜访他，向他请教行军过程中一个困扰许久的问题：他每天从军营 A 出发走到河边去 饮马然后再到 B 点宿营怎样的路线才是最短。 睿智的海伦稍加思索就解决了这个问题，如今解决这 个问题的方法已经家喻户晓。而这个问题也被大家称 为“将军饮马”问题被流传了下来。这个问题的本质

就是将 AB 两点中的一点做轴对称变化，然后利用两 点之间距离最短进行求解。随着数学的不断发展，如 今将军饮马问题也有了许多的变化和拓展。成为了中学数学中的一个重要知识点。  2。1。2 将军饮马问题的常见变化和模型

模型一：如图直线 l 两侧有 A,B 两点，在直线上找一点 P 使得 PA+PB 最短。 模型二：如图直线 l 的同侧有 A,B 两点，在直线上找一点 P 使得 PA+PB 最短。 模型三：如图已知 P 是∠AOB 内一点，分别在 OA,OB 上找出点 C 和点 D 使得三角形 CPD 的文献综述

周长最小。

模型四：如图已知 PQ 是∠AOB 内两点，分别在 OA,OB 上找出点 C 和点 D 使得三角形 CPDQ 的周长最小

以上就是“将军饮马问题”的四个常见模型，解决方法如图所示做轴对称变化同样利用两点 之间线段最短这一知识点作为基石进行求解。

2。1。3 将军饮马问题的拓展及其例题 将军饮马问题在中学数学中有着广泛的拓展，该问题可以融入正 方形，平行四边形，菱形等众多知识点中，一下将展现将军饮马 问题的几个拓展变换。

例一。将军饮马问题在正方形中的应用 如图所示，正方形 ABCD 边长为 4，△ABE 是等边三

角形，点 E 在正方形 ABCD 内，连接 AC，P 为 AC 上一点 问 P 在何处是 PE+PD 的和最小，并求出这个最小值。 分析：要使得 PE+PD 的距离最短，可以把 AC 看成河岸 E D

为同侧的两个点，即可发现这是一个典型的“将军饮马” 问题。进一步可发现点 D 的对称点即为点 B，所以点 PE+PD

即为 PE+PB。同理两点之间线段最短，所以连接 BE 与 AC 的交点即可找到点 P。 例二。如图已知菱形 ABCD 边长为 10， ABC 45，E 为 BC 上的一个动点，P 为 BD 上的一 个动点求 PC+PE 的最小值。

分析：同样的我们可以发现点 C 的对称点为 A 所以根据“将军饮马”问题的解决方案我们可 以把 PC 加 PE 看做是 AP+PE 那么显然 P 在 AE 线段上时最小，当 E 在运动时，AE 为 BC 边上 的高的时候最短所以 PC+PE 的最小值等于 BC 边上高线的长度。