5。利用函数凸性证明不等式

5。1 函数凸性

定义 1：设

f (x) 为定义在区间 I 上的函数,若对 I 上任意两点 x1, x2 和任意实数λ∈(0,1)，

f (x1 (1)x2 ) f x1 (1) f x2 ，

则称 f (x) 为区间 I 上的下凸函数，称 f (x) 为区间 I 上的下凸函数。[3]

定理:1： 设 f (x) 为区间 I 上的二阶可导函数，则在 I 上 f (x) 为下凸函数的充要条件是

f″(x)≥ 0， x∈ I。[4]

定义 2：设

f (x) 为定义在区间 I 上的函数,若对 I 上任意两点 x1, x2 和任意实数λ∈(0,1)，

f (x1 (1)x2 ) f x1 (1) f x2 ，

则称 f (x) 为区间 I 上的上凸函数，称 f (x) 为区间 I 上的上凸函数。[3]

定理 2：设 f (x) 为区间 I 上的二阶可导函数，则在 I 上 f (x) 为上凸函数的充要条件是

f″(x)≤ 0， x∈ I。[4]文献综述

5。2 利用函数凹凸性证明不等式

例 5  证明不等式： xlnx ylny x yln x y (x 0, y 0, x y)

2

证明：设 f t tlnt ， f ’t lnt 1， f ” t 1 ，在(0,+∞)内因 f ” t 0 。

t

可知 f(t)的图像是下凸的，

故对任意的 x,y∈(0,+ ∞), x≠ y