二维形式:
,
当且仅当 时,等号成立。
一般形式:
当且仅当 (k为常数)时,等号成立。
例1 (2002年越南奥林匹克试题)设x, y, z是实数,且x2+ y2+ z2= 9,证明不等式:2(x+ y+ z)- xyz≤ 10。
【分析与思考】本题含有三个未知数,看已知可能想到三维的柯西不等式,但细细分析后可以将之与二维的柯西不等式相联系。已知三个平方项的和,而要证明的不等式不含平方项,所以第一步将不等式左边乘方展开,再构造出柯西不等式进行转化,最终转化到与已知相联系的形式。
证明 不妨设x2≥ y2≥ z2,因为x2+ y2+ z2= 9,所以x2≥ 3,6≥ y2+ z2≥ 2yz。利用柯西不等式得
(2(x+ y+ z)- xyz)2
= (2(y+ z)+ x (2- yz))2
≤ ((y+ z)2+ x2)(22+(2- yz)2)
= (2yz+ 9) (y2z2- 4yz+ 8)。
令a= yz,只要证明(2a+ 9)(a2- 4a+ 8)≤102即可,而(2a+ 9)(a2- 4a+ 8)-100= 2a3+ a2- 20a- 28=-(a+ 2)2(7- 2a)。因为a=x y≤3,所以(2a+ 9)(a2- 4a+ 8)-100≤0,所以原不等式成立。
当a= - 2,且(y+ z)×(2- yz)=2 x时,等号成立。即yz= - 2,并且x2= 4(y+ z)2= 4(y2+z2+ 2yz)= 4(9- x2- 4)= 20- 4x2,得到x2= 4,y+ z= ± 1,yz= - 2。而x2≥ y2≥ z2,可得x= 2,y=2,z= - 1。
例2 设实数x,y满足 ,求 的最大值。文献综述
【分析与思考】这是一道典型的应用柯 西不等式解题的题目。主要运用到 这一公式。关键是根据题意将系数4和5进行分解,凑出公式中的a,b,c,d。本题在高考题中也有可能出现。
证明 ,即 ,由柯西不等式得 。
当且仅当 并且4x2+5y2 =8时取到等号。解之得 , 时,原不等式等号成立。
所以 有最大值 。
例3 (1983年法国奥林匹克数学竞赛)设a,b,c分别为一个三角形的三边长,证明 ,并指出等号成立的条件。
【分析与思考】 a,b,c为三角形三边,可知a> 0,b> 0,c> 0,此题先巧妙地用了换元法,使不等式看起来更加工整美观,将原不等式进行取值代换,然后再利用了柯西不等式加以证明。
证明 设 , , , ,转化后代入原不等式,则原不等式转化为
只需要证当x> 0,y> 0,z> 0时,上式成立。
应用柯西不等式三维形式,有
不等式的证明方法及其应用(3):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_191855.html