Minkowski 的研究领域：数论、代数和数学物理。

主要贡献：Minkowski 不等式，Minkowski 约化理论，Minkowski 时空。为纪念这位数 学家,第 12493 号小行星以他的名字“Minkowski”命名。

离散型 Hölder 不等式通过广义算术平均与广义几何平均证得，连续型 Hölder 不等式 在离散型 Hölder 不等式的基础上证得；而离散型 Minkowski 不等式则通过 Hölder 不等式 证得，连续型 Minkowski 不等式通过两个引理可得。在此基础上，分别对四个不等式进行 推广。论文网

Hölder 不等式和 Minkowski 不等式在数学分析、调和分析、泛函分析、偏微分方程等 学科的研究中发挥了重要作用，使用的技巧灵活多样，得到的结果极为深刻。充分发掘利 用此结果，能使许多问题得到新的简单直接的解决，体现数学的威力，训练使用这些知识 的技巧和能力，能为以后的发展奠定基础。

2 两种形式的 Hölder 不等式

2。1 离散型 Hölder 不等式

2。1。1 离散型 Hölder 不等式的证明

引理 1[1]( 广义算术平均与广义几何平均） 设 a  a1 , a2 ,, an  为已知正数序列，

 1 ,2 ,,n  也为正数序列，且 1   2   n   1, 则称 An  a,  1a1   2a2   nan

为 a1 , a2 ,, an 关于,,,的广义算术平均；同样称文献综述

为 a1 , a2 ,, an 关于1 ,2 ,,n 的广义几何平均。

定理 1。1。1[1]（离散型 Hölder 不等式）若 ai  0,bi  0,1 i n, 且

当且仅当 1      i 1 时等号成立。

证：由广义算术平均与广义几何平均知，若 a, b 均为正数 , 0, 且1 。则有

当且仅当 a b 时等号成立。

在（1。1。2）中，令1 ,1 , 并以 a p 代替 a, bq 代替 b, 则有

当且仅当 a p  bq 时等号成立。