这样就不存在一开始的式和式的矛盾了。于此，无穷小量这个新的概念诞生了。

1 无穷小量

1。1无穷小量的定义

    设 在某 内有定义，如果 ，就称 为当 时的无穷小量[4]。比如说函数 均为当 时的无穷小量。

    就我自己的理解来说就是如果函数（包括数列）在某变化过程中以零为极限，那么这个函数就是这个变化过程中的无穷小量。

1。2无穷小量的基本性质

  1）绝对值非常小的数并不是无穷小量，（因为无穷小量是变量）无穷小量无限接近于0又不等于0，且它在变化过程中是以0为极限的；

    例如函数 ，是当 时的无穷小量，但当x→1时并不是无穷小量

  2）两个（相同类型）无穷小量的和、差以及积仍是无穷小量；

  3）无穷小量与有界量相乘，结果仍为无穷小量。

    例如，当 时， 是无穷小量， 为有界量， ，故由上述性质即得 

1。3无穷小量阶的比较及等价无穷小量 

   1)如果 ，那么称当 时f为g的高阶无穷小量，或者反过来也可以称g为f的低阶无穷小量，记作  。

特别的， f为当 时的无穷小量记作 。

   2)如果存在正整数 和 ，使得在某 上有 ,那么称 与 为当 时的同阶无穷小量。

特别的，当 时， 与 必为同阶无穷小量。

   3）如果 ，那么称 与 是当 时的等价无穷小量。记为 。

   当然，并不是所有任意的两个无穷小量都能进行这样的阶的比较。比如，当 时，虽然 和 都是无穷小量，但是它们的比  或  在 时都不是有界量，所以它们并不能像上面一样的进行阶的比较。

2 等价无穷小量代换定理文献综述

2。1定理1及例题解析

    定理1 在自变量同一变化过程中的无穷小量，设 ， ，且 存在，则 [3]。

    当 时，常见的等价无穷小量有以下几种： ， ， 。从定理1我们不难看出无穷小量代换它的使用范围是在商的运算中，也就是说两个无穷小量只有在做商的时候或者是以分数的形式展现时，我们才能根据等价无穷小量的定理1用与对应的无穷小量等价的无穷小量来代换。 

    例1：求 [1]

    很多同学在初次学习等价无穷小量代换的时候，第一次见到这题时应该都会这样解 ：因为当 时有 ，所以 。然而这样做却忽视了一个很严重的问题“0是比任何无穷小都高阶的无穷小”，而且在分子中 是两个 时的无穷小量的减法，不能这样直接分别对他们使用无穷小量代换。正确的解法应该是这样：