本文结构如下：在第二节中，我们将简单介绍麦克斯韦方程的时间分裂技巧。 第三节简要回顾高阶紧致差分离散方法，然后将离散快速傅立叶变换算法应用于其中。 第四节为麦克斯韦方程提出了分裂能量守恒的算法。 第五节着重建立了算法的误差估计。 最后，我们在第六节给出了一些结论。 

2。麦克斯韦方程组的LOD分裂技巧

注意到旋度算子可以被分成两个算子   和 之和, 即

其中且 。 令  ,麦克斯韦方程组 (1。1) 可以写成 

分裂方法的步骤即为我们反复按不同时间步长推进子问题  和  。 比如，若按时间增量 分别推进上述两个子问题,就得到时间方向一阶精度分裂方法。 若要得到时间二阶精度的分裂算法，就需要推进含有算子   的子问题，其推进时间步长分别为 。 文献中，这一算法被称为称为“Strang分裂法”。 时间一阶方法的两个子问题可以写成:

·阶段一：2。2）

·阶段二。（2。3）

幸运的是每个子问题都含有三对相互耦合的一维方程且每个一维子系统可以很容易地数值求解。

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设函数 是定义在 区间上且具有周期边界条件。考虑均匀间隔网格,即节点变量格 , 。 记  ， 有依据文献[19],紧致差分公式可表示成 

其中 和c 是待定参数，且其值由离散精度和边界条件决定。 六阶紧致格式的系数为

八阶精度的参数为如果参数

我们就得到一个十阶精度的离散方式。 进一步，（3。1）可以写成形式 

其中 两个矩阵分别为循环矩阵且其可以分别表示成 

注1：两个循环矩阵可以分别表示为和

其中，F是离散傅立叶变换，其矩阵元素为

 ,

 和 是对角的矩阵且diag diag , 和 。

性质（3。3）是非常有用的，可以提高有限差分格式的计算效率。 应用(3。3)性质，(3。2)式可以写成

其中A= 是一个循环反对称矩阵。4。分裂方法

令 , ， ， , , ，其中 , 和  。 定义 为时间步长。 用 表示函数 在节点 处的数值解。 由前面分析可知，对于每个子问题，我们只需要分别求解三个非耦合一维方程，例如  。

在空间和时间方向分别应用精致差分离散和中点离散得    (4。1)

 表示时间向前差分算子， 。 进一步，(4。1) 可以改写成矩阵向量形式。

。    (4。2)

其中， 和   类似于 3。2节中定义的C 和 B,

 和  。

将上述想法的应用 (2。2) 和(2。3)，便得到一个求解三维麦克斯韦方程的分裂格式： 

步骤1。步骤2。文献综述

该格式是在时间一阶精度，空间方向具有b阶精度(按不同空间紧致离散方式，可得到6,8或10阶精度)。 后文中，涉及到格式（4。3）-（4。8）时，我们将用记号HOC-TSI(1,b)代表。 令

 。

其中C1 =diag (Cx,Cy,Cz) 和C2 =diag (Cy,Cz,Cx) 为分块对角矩阵,

 。

再记 和   。 依据这些记号，格式HOC-TSI(1,b) 可以写成更为简单的形式，即

步骤1。

 。        （4。9）

步骤 2。

 。     （4。10）

将上述离散技巧应于Strang分裂模型，我们可以为麦克斯韦方程提出另一个分裂格式 (HOC-TSI(2,b))，即

麦克斯韦方程组的LOD分裂技巧(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_197466.html