2  逆矩阵

矩阵的求逆是一种我们在数学中很容易碰到的运算，另外，矩阵求逆引理在系统科学、自动控制、信号处理等方面里常常使用。所以，接下来，我们先对逆矩阵的定义、性质以及计算方法进行一些讨论。

2。1  逆矩阵的定义

我们知道，对于任意的 级方阵 都有 ，

这里 是 级单位矩阵。利用乘法， 级单位矩阵在 级方阵中与1在复数中的地位是相似的。一个复数 的倒数 可以用等式 ,

来刻画，相仿地，我们引入：

    定义2。1。1    级方阵 称为可逆的，如果有 级方阵 使得

这里 是 级单位矩阵。

定义2。1。2  如果矩阵 适合2。1，则 就叫做 的逆矩阵，记作 。

2。2  逆矩阵的性质

    下面要解决的问题是：在什么条件下矩阵 是可逆的？如果 是可逆的，怎样求 ？

    定义2。2。1  设 是矩阵 ,

中元素 的代数余子式，矩阵 ,

称为 的伴随矩阵。文献综述

由行列式按一行（列）展开的公式立即得出   （2。2）

其中 。如果 ，那么由（2。2）得 定理2。2。1  矩阵 是可逆的充分必要条件是 非退化，而 。

定理2。2。2    是唯一的。证明：假设 ， 都是矩阵 的逆，则 ， 都满足（2。1）式，于是就有 ，

故 是唯一的。    推论2。2。1  如果矩阵 ， 可逆，那么 与 也可逆，且推论2。2。2   若 为对角矩阵，则其逆矩阵 。

2。3  逆矩阵的计算

    在数学中，我们对逆矩阵的计算 ，大多依照伴随矩阵求逆矩阵，这样的计算过程太过复杂。我们在求逆的过程里，为了使计算更加简便，大多利用列变换或行变化解决问题，就是 或 。然而，在一般的解题过程中，大多利用行变换来求解。例2。3。1  已知 ，求 。解            。

但是我们在有些问题上利用分块矩阵求逆矩阵是更为方便简洁的。接下来就是分块矩阵求逆矩阵的方法：