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(1)在 a,h 上选取一数列 xn  ，使 xn — n ,xn + n    ∩  a,b 具有与性质 P，相反的

性质P—1;

(2) xn  是柯西数列;

(3)由柯西收敛准则得 c = lim xn;n‹t(4)证明在 c 附近产生矛盾;

3 利用柯西收敛准则证明有关重要定理

3。1 单调有界定理的证明

单调有界定理 1 

若数列 xn递增（递减）有上界（下界）,则数列 xn

收敛,即单调有界数列必有极限。

证明 不妨设数列 xn 单调递增且有上界，我们证明 xn 为柯西数列。用反证 法，若 xn 不是柯西数列，则必存在某正数s0，对任何自然数 n,必存在某自然数 h > n,使得xh — xn  Ç s0 现依次取 n = n0  = 1,则有n1  > n0 ,使xn1  — xn0  Ç s0 取 n = n1,则有n2 > n1 ，使得xn2 — xn1 Ç s0……取 n = nk—1 ,则有nk > nk—1 ，使得 xnk  — xnk—1  Ç s0把上述各不等式两边分别相加,得到

xnk  — xnk—1     + …  xn2  — xn1     +   xn1  — xn0      = xnk  — xn0  Ç ks0

或xnk Ç xn0 + ks0 = ks0 + x1由实数的阿基米德性质，当 k 充分大时 ks0 + x1可 以大于任何正数，因而xnk可以大于任何正数，但这与 xn 有上界的条件相矛盾。 这就证得数列 xn   是柯西数列，由柯西收敛准则,数列 xn 必有极限。

3。2 聚点定理的证明 文献综述

聚点定理 1

实轴上的任一有界无限点集 E 至少有一个聚点。

证明 我们首先证明一有界无穷点列 xn   ，对于任给s > 0,至少存在一点

xn0   C   xn   使 xn0  — s,xn0  + 1s   ∩   xn   是无穷点集。假若不然，存在某一点s0  > 0

对任一xh h = 1,2… 都要使 xh — s0,xh + s0 ∩ xn 为有限点集,任xn1 C xn ， 则一定存在xn2  C  xn  使n2  > n1   xn2  — xn1   Ç s0因为 xn1  — s,xn1  + s   ∩  xn 和 xn2 — s,xn2 + s ∩ xn 都是有限点集,存在xn3 C xn 使n3 > n2, xn3 — xn2 Ç s0 依次进行下去，得到 xn 的子列 xnk  使得对任意的自然数 j,k 当 j G k 时就有

xnj  — xnk    Ç s0这样就有

max xnk  — xnk—1   , xnk  — xnk—2   … xnk  — xn1    Ç   k — 1 s0 k = 2,3…  。

由实数的阿基米德性质,当 k 充分大时, k — 1 s0可以大于任何正数,与 xn 有界相矛盾，这一矛盾说明我们希望证明的结论成立。我们在 S 中任意选取可数 个互不相同的点构成一个数列 xn ,任取ε = 1 > 0，则一定存在一个xn1 C xn ， 使得E   =   x     — 1,x     + 1   ∩   x    是无穷点集，取ε = 1  > 0，则一定存在一个