证明 当 或 时明显成立,所以在以下证明中,不妨设 , , , 中至少有1个不是0, , , , 中至少有1个不是0。
在已知不等式
中,令 , 。
并取 , , ,把得到的不等式,一起相加,有
,
于是
,
再把上式平方,即得柯西不等式。
3 放缩的技巧
放缩法的技巧有三点:化复杂为简单,统筹兼顾,化抽象为具体。以下是具体的分析。
3。1化复杂为简单
在绝对值不等式问题中,求证 。我们不容易直接比较带有绝对值的代数式的大小,利用放缩法,我们可以把较为复杂的绝对不等式问题变得简单。
直接利用的绝对值不等式的性质就可以判断出大小关系。
3。2统筹兼顾
对一些特殊的分式进行放缩时,我们把一个相对较复杂的代数式
拆分成4个部分,并对每个部分进行放缩,列出大于它和小于它的式子,并用不等号连起来。
最后把这些部分相加放在一起,我们可以发现
即文献综述
从而得到一个简单的放缩结果。
3。3化抽象为具体
我们利用函数的单调性,可以把抽象的不等式问题,转化为判断函数单调性的问题。已知 , , 是 的三边,我们利用函数的单调性,可以把抽象的不等式证明
,转化为判断函数单调性的问题。
证明 由题意得
在 , 上是增函数,且 ,
即 通过转化,我们可以把抽象的数据变成具体的数据,从而优化解题。
4 放缩法的具体应用
放缩法在数学解题中有着广泛的应用,下面是我对放缩法的具体应用。
数学解题中放缩法的应用(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_200237.html