推论2 [1] 若函数 和 均在区间 上可导，且 ， ，则在区间 上 与 只相差某一常数，即

                         （ 为某一常数）。

    推论3[1]（导数极限定理） 设函数 在某点 的某领域 上连续，在 内可导，且极限 存在，则 在点 可导，且

                        。

定理3[1]  （柯西（Cauchy）中值定理）设函数 和 满足

    （1）在 上都连续；

    （2）在 上都可导；

    （3） 和 不同时为零；

    （4） ，

则存在 ，使得

    柯西中值定理的几何意义：满足定理条件的由 ， 所确定的曲线上至少有一点，使得过这一点的切线平行两端点连线。

定理4 [1]   （泰勒（Taylor）定理）若函数 在 上存在直至 阶的连续导函数，在 上存在 阶导函数，则对任意给定的 ，  ，至少存在一点  ，使得

定理5 [1]  若函数 在点 存在至 阶导数，则有 ，即

上式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式。

3  三个微分中值定理的联系文献综述

根据以上陈述我们容易得出，在拉格朗日中值定理中，当 时，可以得到罗尔定理；在柯西中值定理中，当 时，可以得到拉格朗日中值定理。 即前一个定理是后一个定理的特例，后一个定理是前一个定理的推广。 不仅如此，罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理的几何意义三者之间有一个共同之处：满足定理条件的函数曲线上至少存在一点，使这个点所对应的切线与函数曲线在区间上的两个端点之间的连线平行。

4  微分中值定理的应用

在微分学中，微分中值定理是重要的理论基础，许多问题的解决都建立在其上。它可以用来解决以下问题：判定可导函数在已知区间内根的存在性和根的个数，求解形式较为特殊的极限，证明相关等式和不等式，证明可导函数在区间上（内）的某些性质，如单调性，最值，零点，一致连续性，有界性等等。

解决这些问题，不仅需要熟练运用微分中值定理，还需掌握一定的证明技巧，大致有三类：一是直接证明，尽管这样的情况发生的机率不大。根据题目条件，验证符合相应的定理条件时，可以直接推出结论；二是导入恰当的辅助函数，此方法技巧性强，题目不同，技巧也有相应的变化。而这样的情况比较常见，需要经过适当的拼凑、重组，移项等方法，构造一个或者两个新的辅助函数，判断它们符合某个微分中值定理，然后根据定理推出结论；三是反证法，假设需证明的结论的逆成立，然后在证明过程中发现与已知条件的矛盾，以达到证明原命题的目的。