1。2  研究内容和意义

由此，本文将介绍分数阶微分和积分的基本概念和性质，总结近些年关于分数阶微分方程的研究成果包括不同种类型的分数阶微分方程如：非线性方程，以及解的性质：解的存在性、唯一性、多解存在性等，将他们工作研究方法研究工具等进行总结，使读者更了解分数阶微分方程的研究现状，使研究者更容易找到进一步研究的课题。

本文主要的工作是总结近些年国内的一些关于分数阶微分方程的解的研究成果，包括分数阶微分方程的解的存在性和唯一性的证明以及证明所用到的工具，比如各种不动点的定理，解析半群理论，带有 ，还有分数阶微分包含的存在性和唯一性的证明以及所用到的工具和证明类型。最后现有文献中关于分数阶微分方程的数值解的几种求法，例如： 分解法， 小波解法和变分迭代法等。归纳总结各种方法的优点缺点，给其他的研究者提供启示和参考。

1。3  预备知识论文网

定义1。1 函数: 的 阶 积分是指 ，

其中右端在 上是逐点定义的。

定义1。2  函数 的 阶 导数是指 ，

其中 是 的整数部分，右端在 上是逐点定义的。

    定义1。3 对于函数 的 阶 的导数定义为： ，

其中 。定义1。4 对于函数 的 阶积分定义： ， 。

定义1。5 设 是 空间， 连续有界，若存在非相对紧集的有界集，若存在非相对紧集的有界集 都满足 ,称 是 上的凝聚。

定义1。6 ,则 关于范数                         

构成一个 空间。

定义1。7对于每个 定义 的选择集合为

定义1。8考虑 测度  定义如下：

其中 且 ，显然 是度量空间并且 是一个广义度连量空间。

定义1。9一个函数 是上半连续的，当 ，对于所有的

 。称 是多值映射 的一个终结点，当 。若 ，也称 具有近似终结点性质。

定义1。10对于赋范空间 ，令

对于每个 定义 的选择集合为 令 是由赋范空间 引进的度量空间。

定义1。11对于每个 定义 的选择集合为： 

引理1。1令 ，假设 ,则分数阶微分方程 有唯一解                     

其中 常数， ， 是大于或等于 的最小整数。

引理1。2假设 且有 阶分数阶导数，则 ,

其中 为常数， , 是大于或等于 的最小整数。

引理1。3 有 文献综述

以上是研究分数阶微分方程的一些比较主要的定意义和引理，下面是对于分数阶微分方程的解和包含的一些研究工作。

2  分数阶微分方程解的存在性和唯一性

分数阶微分方程解的存在性和唯一性的研究工作比较常见，讨论关于分数阶微分方程解的存在性和唯一性方面的研究，以及其所研究的结果和研究所用的工具是否相同。许多经验表明，其研究工具的不同，研究的结果也会相应的不同。

首先介绍研究的不动点定理方法：

引理2。1。（ 不动点定理） 假设 是 空间 的有界凸闭集，并且 是全连续的，则存在 ，使得 。

引理2。2。（凝聚映射不动点定理） 设 是 空间， 凝聚映射，若 有界，则 有不动点。

引理2。3。（压缩拉伸不动点定理） 设 为实赋范线性空间， 是锥， 为非空开集，且 ，设 为全连续算子