摘 要:本文介绍了凸函数的4种定义以及凸函数的常用性质。并且探讨了它在证明詹森不等式和一般不等式中的重要应用。
毕业论文关键词:凸函数,詹森不等式,不等式93627
Abstract: In this paper ,we introduce four different definitions of convex function and common properties of convex function, and discuss its important application in proving Jansen inequality and general inequality。
Keywords: convex function,Jensen inequality ,inequality
目 录
1 前言 4
2 凸函数的概念与性质 4
2。1 凸函数的概念 4
2。2 凸函数的性质 8
3 凸函数的应用 12
3。1 凸函数在不等式中的应用 12
结论 17
参考文献 18
致谢 19
1 前言
函数的凸性是函数的一个重要性质,具有良好的几何性质,因此具有重要的理论研究价值和应用价值,比如利用凸性证明不等式,产品的外形设计,优化产品设计等,本文将对函数的凸性的研究背景和意义进行分析论述,对函数的定义及其相互关系分析论述,对凸函数在不等式中的应用进行分析。
2 凸函数的概念与性质
2。1 凸函数的定义
定义1[1] 设函数 在区间 上有定义,若对任意 , 及任意 总有 。 (2。1。1)
则称 为区间 上的凸函数。若(2。1。1)呈严格不等式,则称 为严格凸函数。若 为凸函数(严格凸函数)则称 为凹函数(严格凹函数)。
凸函数(凹函数)的几何意义:连接曲线 上任意两点的弦总位于对应曲线的上方(下方)。
显然,严格凸函数也是凸函数,反之不真。除此定义以外,还有其他形式的
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定义2[2] 在区间 上有定义。 称为 上的凸函数,当且仅当 , ,有 。
(2。1。2)式中 改为 便是严格凸的定义
定义3[2] 在区间 上有定义, 称为是凸函数,当且仅当 有
(2。1。3)式中 改为 便是严格凸的定义。
定义4 在区间 上有定义,当且仅当曲线 的切线恒保持在曲线以下,则称 为凸函数。 若除切点以外,切线严格保持在曲线下方,则称 为严格凸的。
下面我们要证明定义2与定义3是等价的, 且当 连续时定义1 ,定义2和定义3等价。
先证明定义2与定义3 等价。
证明 由(2。1。2)式知(2。1。3)式当 时成立。现证 时(2。1。3)式成立。事实上, 由(2。1。2)式,我们有
此即(2。1。3)式对 成立。一般来说,对任一自然数 ,重复上面方法,应
用(2。1。2)式 次,可知
这说明式(2。1。3)对一切 皆成立。
记 则 ,所以,
因式(2。1。3)对 成立。
故不等式两边同乘以 ,减去 ,最后除以 。注意 我们得到
此式表示式 对 成立。证毕。
若 连续,则定义1,定义2与定义3等价。下面定理给出了凸函数的几种等价描述。
定理1[3]设 为区间 上凸函数的充要条件是对任意 凸函数在证明詹森不等式和一般不等式中的重要应用:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_201512.html