,下列不等式之一成立:

证明

三个二阶行列式非负恰好对应（1）（2）（3）三个不等式，现只需证明其中任一不等式与凸函数的定义等价。

    对任意给定的 ， 有 , 

若 是凸函数，则有 文献综述

将这个表达式代入，经整理得 

即 。

反之，任取一个不等式，例如（1），

而 由于 是区间中任意三 点，因此在 上为凸函数。

定理2 若 在 上可导，则 是 上的凸函数的充要条件为 在 上单增。

推论1 若 在 上二阶可导，则 是 上的凸函数的充要条件为 

根据以上的定理证明和推论可知，若 在区间 上可导，则 在 上为严格凸函数的充要条件是 在 上严格递增从而若 在 上有二阶导数，则 为严格凸的充分条件是 ,与其等价的充要条件是  ，且在任何子区间上二阶导数不恒等于0（即曲线 的斜率递增，且不含直线段）。