摘　要：矩阵是高等代数里常用而重要的内容之一，伴随矩阵作为一种特殊的矩阵拥有很多特殊的性质，在矩阵的运算和应用中起着十分重要的作用．本文运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般方阵的伴随矩阵的一些性质．通过这些性质研究，加深对伴随矩阵的认识．93744

毕业论文关键词：伴随矩阵，矩阵的秩，矩阵的逆，应用

Abstract: Matrix is one of common and important content in the advanced algebra, adjoint matrix as a special matrix has many special properties, in the operation and application of the matrix plays a very important role。 This article uses some techniques and methods of matrix calculation, proved that the average square of some properties of adjoint matrix。 Through these properties research, to deepen the understanding of adjoint matrix。

Keywords: adjoint matrix, rank of the matrix, matrix inverse, application

目　　录

1　引言4

2　伴随矩阵的定义4

3　伴随矩阵的性质4

3．1　伴随矩阵的基本性质4

3．2　伴随矩阵的运算性质7

3．3　伴随矩阵的继承性9

4　伴随矩阵的推广12

结论15

参考文献16

致谢17

1　引言

矩阵作为高等代数的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具．伴随矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其理论和应用有其自身的特点．在高等代数的学习中，我们重点学习了矩阵的性质及运用，而伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的，并没有进行更加深入的研究．本文分类研究了伴随矩阵的基本性质、运算性质以及伴随矩阵对原矩阵的继承性，最后简单的探讨了 重伴随矩阵的性质．这些性质能帮助我们快速有效的解决在计算伴随矩阵时遇到的问题．

2　伴随矩阵的定义论文网

在一个 级行列式 中，把第 行第 列的元素 所在的行与列划去后，剩下的 个元素按照原来的次序组成一个由 阶矩阵所确定的行列式，并将其称为元素 的余子式，记作 ．将 称为元素 的代数余子式，记作 ．称

为矩阵 的伴随矩阵，特别的，当 时，则称 为自伴随矩阵．

3　伴随矩阵的性质

3．1　伴随矩阵的基本性质

   性质1[1]　设 为一 阶矩阵， 为 的伴随矩阵，则

1)　 ． 

2)　 ．

3)　若 为可逆矩阵， 或 ．

    证明　1) 由行列式按一行（列）展开的公式有

   ， ．即 ．同理可证　 ．

综上　 ．注　若 ，则 ．即 是自伴随矩阵．

2)　当 可逆时，则 ，由 ．两边取行列式，得

 即 ．又 ，则 ．

当 不可逆时， ．若 ，可以推出 ， ．于是， ．所以有 ；若 ，因为 ．所以 有非零解，故 ，于是 ．所以此时也有 ．

3)　因为矩阵 可逆，由 ，等式两边同乘 ，所以 

 ．

即 ．同理可以得出　 ．文献综述

该性质可以用来求矩阵的逆和矩阵的伴随矩阵，是最直接和最常用的方法，也是最一般的方法．

例1　已知一个三阶矩阵 ，求 ．

解　已知 ，则 ．因为 ，所以 ．

所以 ．

矩阵的秩是矩阵的重要特性，若以 表示矩阵 的秩．则有以下性质

性质2［2-3］　设 为 阶矩阵，则 ．

证明　当 ，即 可逆， 时，由于 ，故 也是可逆的，可以得到 ．

当 时，于是， 至少有一个 阶子式不为 ，所以 ．另一方面，由 ，有 ．于是 伴随矩阵的若干性质:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_201646.html