想要解决悖论，首先要明确悖论不是错误的理论，“悖论”从字面上来说是指可以同时证明或者推导两个互相矛盾的命题或者理论体系。要完全的解决悖论要做到能够有可行的方案消除悖论至少将其隔离，然而当真正的解决悖论的时候我们发现悖论不是简单的能够消除的，这也是悖论的魅力所在，吸引了无数的学者研究悖论。由悖论引起的三次数学危机极大的推动了数学的发展，虽然第三次数学危机到如今都尚未被真正的解决，可在解决悖论的这一过程中推动了数学的一次次的进步，更新着人们的知识与逻辑。

2  运输问题悖论的提出论文网

本文讨论的也是基于数学中的一个悖论现象。在采用表上作业法求得最优调运方案之后，有时会出现一个奇怪的现象：在最优方案下，增加了一定的运量，运费反而减少了，这种现象被称为运输问题的悖论。

1982年，周奇先生最早在《运筹学杂志》上介绍过这种现象：利用位势法，调度员做出了一个的运输方案，到了下个月，产地 , 分别增加了5个单位，销地 销量增加了10个单位，其他条件不改变。我们通常会认为运量增多，那么相应的运费也会增加。然而当这位调度员做出最优方案时，惊讶的发现运费不增反少，调度员开始质疑是不是自己做错了[2]。这一现象的提出，立即引起了广泛关注。1984年，林耘首先对这一“悖论”现象在《运筹学杂志》上发表了他的研究成果，他通过分析周奇的调度员调运的例子，找出了一条具有“负费用路”的特征，进而探讨如何找到任意运输问题“负费用路”，提出了“势差”的概念，得到运输悖论现象出现的充分必要条件是最优运输方案中的势差矩阵一定有负数，并将这一命题推广到非退化运输问题和退化运输问题两种情形下，同时指出运输悖论是由产销系统不协调导致的[3]，后来多数的学者也都是在林耘的基础上做出讨论；2008年夏少刚在《运筹与管理》上发表不同的方法，他假设最优方案是在最小方案调整中得来的，提出新值点、旧值点，调入行和调出行的概念，画出调整路线，即从新值点出发到旧值点，由此找出反调整路线和反调整差进而得出结论,出现悖论现象的条件是存在反调整路线[4]；而费威在夏少刚的基础上去探究如何使得总运费不增而运量达到最大的经济调整方案[5]。本文将继续探讨运输悖论存在的条件，并寻找如何在悖论存在的条件下，找到最大调整量。

3  运输问题的模型

用 表示产地 运输给销地 的产品的单位数量 ,那么，在产销平衡 的条件下，求出如何使得总运费最少，则该问题可以表示为数学形式：

对于这种运输问题，一般采用表上作业法[6]

(1) 用最小元素法或沃格尔法（Vogel）给出运输问题的基可行解。

在调运方案表中，称填写数字的格为有数字的格，它对应基变量的取值；称不填数字处为空格，它对应非基变量；如在表1。1中，有数字的格为基变量，其余的为非基变量。

(2) 闭回路法或位势法检验该解的目标函数值,最优运输方案的充分必要条件是:所有检验数 。

闭回路法检验：令某个非基变量取值为1，通过变化原基变量的值找出一个新的可行解，将其同原来的基可行解目标函数值的变化比较。

参见表1。1中， 与 四个格的水平和垂直连线围成闭回路，该闭回路中 为空格， 为数字的格，令非基变量 ，为找到新的可行解，原有的基变量中 应减1， 应加1， 应减1，原来的解运费增加 ，其为检验数。

如果用 表示平衡运输问题的最优解,非变量 与基变量 构成了一个闭回路 ，那么非基变量 对应的检验数 关于运输问题的悖论的讨论(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_201787.html