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浅析高等数学中的近似计算(2)

时间:2024-02-22 19:34来源:毕业论文
那什么是近似计算呢? 近似计算就是将我们要计算的对象进行分割,分割成 个序列,对这些序列进行求和等计算,当 时,就是所求的对象了;但一般,我

那什么是近似计算呢?

近似计算就是将我们要计算的对象进行分割,分割成 个序列,对这些序列进行求和等计算,当 时,就是所求的对象了;但一般,我们会取前 项进行计算,这就是所求对象的近似值了,这也就是本文所提的近似计算。而这样,则会与所求对象的原值产生误差,于是出现了误差分析及精确度的问题。本文将从微分、积分和级数这几个方面来进行分析说明。

2  近似计算的方法

2。1 微分中的近似计算

2。1。1 一元函数微分的近似公式

(a)一般近似公式来自优I尔Q论T文D网WWw.YoueRw.com 加QQ7520~18766

在生活和工作中,我们常常会遇到一些较复杂的计算公式。若直接使用这些公式,则会给我们带来大量费力的计算。那如何简化计算呢?这就可以用到微分了。我们可以利用微分得到简单的近似公式来替代那些复杂的计算公式,以此来简化运算。下面我们就来介绍一些简单的近似公式: 

若函数 存在点 处的导数 ,且 很小时,可得  ⑵当 时,即 ,那么上式可以改成

⑶⑴式可以用来近似计算 ,

⑵式可以用来近似计算 ,

⑶式可以用来近似计算 。

注:在⑶式中取 ,可得 ,利用该式我们可以推导出几个常用在工程上的近似公式(假设 取较小数值) 

①             ;

② (  弧度制);

③ (  弧度制);

(b)特殊的近似公式—— 公式

为了方便研究某些较为复杂的函数,我们往往希望能够用一些简单的函数来对它们进行近似表达。而多项式函数是各类函数中最简单的一种,则我们经常会用多项式对某些复杂函数进行近似表达,又由于对精确度的较高要求和度误差估计的需要,就推理出了我们最为常用的泰勒公式了。泰勒公式则是利用高次多项式对函数进行近似表达,并且能够得出误差公式,具有较广的适用范围。

(Ⅰ)带有 型余项的 公式

假设函数  在  点的某个邻域内  阶可微,则在此邻域内

其中 是 型余项,且

    特别的,当 时,有

称之为带有 型余项的 公式。

(Ⅱ)带有 型余项的 公式

假设函数 在 点 阶可微,则在 附近有

其中, 是 型余项;

    特别的,当 时,有

称之为带有 型余项的 公式。 

(Ⅲ)常用的 公式:

2。1。2 二元函数微分近似公式 

(a)全微分近似公式

当二元函数 在点 的两个偏导数 连续,并且 , 都较小时,就有近似等式

 。

也可写成

(b)特殊的近似公式—— 公式论文网

若函数 在点 的某领域 上有直到 阶的连续偏导数,则对 内任一点 ,存在相应的 ,使得

称为二元函数 在点 的 阶泰勒公式,其中

2。2 积分中的近似计算

在积分中,我们一般比较注重定积分的近似计算,所以本文将重点放在定积分的近似计算。在定积分的计算中,我们可以用 公式进行精确的计算;但就 公式而言,它只能用来计算能够求出原函数的积分。而在定积分的很多应用中,原函数很难被求出,这就需要我们采取近似计算的手段了。下面就来看看定积分的几种近似计算的方法:设函数 在区间 上连续可积,记为 

(a)矩形法:将区间 等分成 个长度相等的小区间,分点是

 ,

在小区间 上,取 ,记 ,有

⑷      取 ,则有⑸ 浅析高等数学中的近似计算(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_202139.html

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