定理3 设 是常数且 ,如果函数 对定义域内的任意一个 ,满足 ,那么 是周期函数且他的周期为 。
证明 因为 ,那么 是周期函数且他的周期为 。
推论3 设 是常数且 ,如果函数 对定义域内的任意一个 ,满足 ,那么 是周期函数且他的周期为 。
证明 因为 ,那么由定理3可以知道,结论成立。
推论4 如果函数 满足 ,其中a≠0是一个给定的常数,则 是周期函数且他的周期为 。
证明因为 = = ,即 ,那么由定理3可知 是周期函数且他的周期是 。
同理可论证推论3成立。
推论5 若函数 满足 ,其中 是一个给定的常数,那么, 是周期函数且他的周期是 。
定理4 若函数 满足 ,其中 , 为常数,且 ,那么 为周期函数且它的周期是 。
证明 因为
= ,所以 为周期函数且它的周期为 。
2。2 周期函数的几个性质文献综述
近几年的高考中函数性质是考查的重难点内容之一,对周期函数的考查是与其他性质结合起来考查的。这一类题目的解决有较大难度,为了克服这一困难,下面给出周期函数的几个重要性质,希望能给同学们的解题带来帮助。
性质 1 设 是定义在 上的函数,且关于直线 及 对称,则函数 是以 为周期的函数。特别地,当 是定义在 上的偶函数,且图象关于直线 对称,则函数 是以 为周期的周期函数。
证明 因为 的图象关于直线 和直线 对称,所以 , 。所以 ,可见 是 上的周期函数,且 是它的一个周期 。
例 1 定义在 上的函数 ,它的图象既关于直线 对称,又关于直线 对称,又知当 时, ,对于整数 ,记 ,求 在 上的表达式。
分析 已知关于两条直线对称,根据定理1与性质1,可知函数为周期函数,周期为4。
解 因为 的图象既关于直线 对称,又关于直线 对称, 所以
。根据性质 1,得 是周期函数,且4是周期
周期函数定义定理及推论和教学问题(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_202540.html