目录

第一章调和函数与次调和函数基础 1

1.1预备知识 1

1.2调和函数与次调和函数的定义： 2

第二章调和函数与次调和函数的联系 5

2.1调和函数的性质分析 5

2.2次调和函数的性质分析： 8

第三章运用次调和函数解决Dirichlet问题 16

3.1 Perron函数与Dirichlet域的定义 16

3.2 Dirichlet问题有解的条件 16

总结 19

参考文献 20

致谢 22

第一章调和函数与次调和函数基础

1.1预备知识

在本论文研究开始之前我们需要了解几个重要的性质定理，它们将在后面的调和函数与次调和函数的研究中有很大的帮助。

定理1.1.1（最大模原理）函数fz在区域D内解析，那么的任何点都不可能达到最大值，除非fz在D内恒为常数。

fz在区域D内定理1.1.2（平均值定理）如果函数fz在域z0R内是解析函数，在闭圆

即函数fz在圆心z0上的值等于其在圆周上的值的算术平均数。

定理1.1.3设0R，若函数uz在闭圆域zR上是连续的，在开圆域zR上是调和的，那么对于zR有

称为开圆域z

 

R上的泊松核，（1.1.1）式称为调和函数的泊松公式。

性质1.1.3（泊松核的性质）泊松核有以下性质：

d) 对于0,2，任给0及0,2，存在r00，使得当Rrr0，

时，对所有满足2的有PRei,rei。

下面给出一个非常重要的定义，Perron族。

定义1.1.4设区域上的一个非空次调和函数族称为一个Perron族，若有：

(1)如果v，那么对中的任何圆域D，令

则v。(2)如果v1,v2，则maxv1,v2。

1.2调和函数与次调和函数的定义：

定义1.2.1如果二元函数fx,y在区域D内存在二阶连续偏导数，并且满足拉

普拉斯方程f是一种运算记号，被称为拉普拉斯算子），则称

fx,y为区域D内的调和函数。另外，我们还可以定义为在域内满足中值定理的任

何连续函数一定是调和函数。定义1.2.2设uz在圆z0r上连续，且成立不等式

那么称uz为z0r上的次调和函数。

例1.2.1如果u、v在区域D内是次调和函数，对任意的c、d0，有cudv在域D内也是次调和函数。

证明由u、v是次调和的及定义1.2.2得

所以cudv也是次调和函数。

推论 如果u1,,un是次调和函数，那么对任意的常数列c1,cn0有

c1u1cnun也是次调和函数。

对于次调和函数的定义也有类似于定义1.2.1调和函数的定义方式，这在接下来的第二章中对调和函数性质推移的时候会详细证明。下面再给出一个证明次调和函数的充要条件

定理1.2.1若uz是区域D上的连续函数，且不恒等于常数，则uz在D上是次调和的充要条件为：对任一个D上的子区域G和G上的任一个调和函数vz，使uzvz在区域上满足最大值原理。 次调和Perron函数的研究(2):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_205053.html