单位下三角矩阵群的一类子群的轨道代表元构造

摘要：本文主要研究有限单位上三角群Un(q)的列封闭子群，即由Un(q)中满足在指定的列中全为零元素的矩阵（对角线上元素除外）所构成。在QiongGuo和RichardDipper的文章中已经给出了该群的右轨道代表元，本文将在此基础上研究该群的双轨道代表元。

关键词：列封闭子群，单项式线性化，supercharacter

Abstract： In this paper, a subgoup of the unitriangular group Un ( q ) is inspected, which is called column closed subgroup, consisting of matrices in Un ( q ) satisfying that some chosen columns are always zero columns up to the entries on the diagonal positions. In the paper by Qiong Guo and Richard Dipper, they investigated the right orbit representatives of the column closed subgroups. Based on their results, this paper will inspect the double orbit representatives of these subgroups.

Keywords ： column closed subgroups, monomial linearisation, supercharacter

1绪论 1

1.1课题的目的 1

1.2国内外研究现状 1

1.3本文的研究思路 2

2群论的介绍 3

2.1群论的起源和发展 3

2.2群表示论及有限p群简介 3

2.3群的定义 4

2.4群作用 4

2.5轨道的定义 6

2.6群的线性表示的定义 8

2.7群的特征标的定义 8

3列封闭子群的简单介绍 8

3.1列封闭子群的定义 8

3.2列封闭子群的简单举例 9

4轨道代表元的构造 9

4.1行、列作用的定义 9

4.2hook的定义 10

4.2.1根据hook是否有交叉点进行讨论 10

4.2.2根据非零元上方小矩阵秩的不同进行讨论 14

5结论 17

致谢 21

参考文献 22

1绪论

1.1课题的目的

本次课题我选择了群表示论和有限p群的相关知识，主要研究单位下三角矩阵群的一类子群，该类子群中的元素除了满足下三角矩阵的条件外，还要求某些列上除对角线上元素外全为0.关于这类子群的supercharacter理论，毕业设计指导老师已有论文描述，此课题的目的是通过理解指导老师的学术论文：Onmonomiallinearisationandsupercharactersofpatternsubgroup，并以此为基础，当某列元素为0时，通过行作用和列作用尽可能的将矩阵化到最简，计算低维情况下，单项作用所产生的双轨道的代表元。

1.2国内外研究现状

众所周知，对所有自然数n和素数幂q，找到单位下三角矩阵群Un(q)的单位下三角nn矩阵上的一些有限域Fq的共轭类是很困难的问题，因此将单位下三角矩阵群Un(q)的不可约复特征标进行分类也相当困难。Andrè和Yan分别为Un(q)建立了supercharacter理论，给出了一个与不可约特征标分类相似的一个特征标分类问题，该理论后来又被Diaconis和Isaacs推广到Fq-代数群。对于有限G群，supercharacters是G的复杂特征，使得每个不可约特征都是一个supercharacter的不可约成分。supercharacters在超类上应该是常数，是G的共轭类的集合，并且每一个共轭类精确地包含在一个超类中。此外，超类的数量和supercharacters应该重合。在例子GUn(q)中，超类和supercharacters由Andrè和Yan分类，并且supercharacters表已知。单位下三角矩阵群的一类子群的轨道代表元构造:http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_205180.html