2.3 调和函数序列的收敛性质
本节我们主要探讨调和函数序列的收敛性质,下面我们不带证明地给出如下两个定理。
定理2.3.1 若调和函数序列 在区域 内闭一致收敛,则极限函数 在 内也是调和的。
定理2.3.2 若调和函数序列 在区域 内闭一致有界,则存在 的子序列在 内闭一致收敛。
下面给出一个调和函数序列的性质。为了方便叙述结论,我们引入一个函数
其中, 是一调和函数。有时,我们将之简记为 。
易知, 是连续的。事实上,令 及 。根据调和函数极值原理及自身连续性可知:
,当 时,有
所以函数 是连续的,且是单调递增的。
由此,我们给出推论:
推论2.3.3 调和函数序列 定义在圆型区域 ( )上,由它们导出的函数序列 在 上一致收敛,若调和函数序列有极限函数 ,那么它在 上是调和的。
证 因为 在 上一致收敛,故 在 上有界。由于
故可知 在 上一致有界。根据定理2.2.2,存在 的子序列 在 内闭一致收敛,根据定理2.2.1,这个子序列 的极限函数在 内也是调和函数,我们记它为 。
由于调和函数序列有极限函数 ,那么 必然与子序列 的极限函数 相同,根据 在 内也是调和函数,那么 自然也是调和函数,定理得证。
另外,文献 中根据调和函数序列的收敛性质给出了Harnack不等式。
2.4 次调和函数的性质
调和函数的满足条件比较强,为了更普遍地得出一些函数的性质,我们引入了次调和函数。同时,引入次调和函数也有助于我们解决Dirichlet问题。
首先,我们来看次调和函数的定义。
定义2.4.1 区域 内的连续实函数 称为是次调和的,如果对于 内的每一点 及任意充分小的 有
易知,对区域 内的调和函数 ,它同样也是次调和函数。
对于次调和函数,同样成立着最值原理。
定理2.4.2 非常数的次调和函数在域内不可能取到最大值。
证 设 是域 内的次调和函数, 。 是 内使 的点集。我们证明,或者 为空集,或者 。在后一种情形 ,这与假定不符。因此只能是 为空集。
由 的连续性, 是闭集。若 是 的非空真子集,那么有 的边界点 。在 内作以 为中心的小圆周 : 。因为 是 的边界点,所以在 上有 。由连续性,对于任给 ,在 上存在包含 的弧 ,在 上 。在 的其余部分 上 。于是
其中 , 分别是 和 的弧长。这就得到矛盾,故 为空集。证毕。
在文献 中,还简单介绍了次调和函数的一些性质。
下面,我们根据次调和函数的最值定理,得出如下推论。
推论2.4.3 如果 是 的共轭调和函数,那么对任意的实数 和 ,函数 在边界上能取到最大值或最小值。
证 当 和 中有一个为零时,根据调和函数极值原理,定理自然成立。故我们可以假定 ,那么我们只要证明函数 在边界上能取到最大值或最小值。
我们先考虑函数 ,因为
易知 可取任意小,故函数 是一个次调和函数。同理,函数 也是一个次调和函数。
故当 时, 是一个次调和函数,根据次调和函数的最大值定理, 在边界上取最大值。 调和函数的性质与应用+文献综述(3):http://www.youerw.com/shuxue/lunwen_2689.html